Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
\lim _{x \rightarrow 0} \cos \left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \cos\!\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}\right).
Informações que o enunciado dá e elementos úteis (lista clara do que temos):
  • A função composta é f\circ g com a parte exterior f(t)=\cos(t) e a parte interior g(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+2}.
  • O ponto onde tomamos o limite é x\to 0.
  • Observações diretas dos termos: x^{2}+1 e x^{2}+2 são polinômios; em x=0 a parte de baixo vale 0^{2}+2=2\neq 0.
    Nada mais é pedido além de calcular esse limite.

Passo 2

Explicação didática do que vamos usar — teorema de continuidade de funções compostas e por quê ele vale:
  • Definição de continuidade em um ponto a: uma função h é contínua em a se \lim_{x\to a} h(x)=h(a). Em palavras: o limite existe e é igual ao valor da função.
  • Teorema de continuidade de compostas (em palavras simples): se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f\circ g é contínua em a. Consequência prática para limites: \displaystyle\lim_{x\to a} f(g(x))=f\big(g(a)\big).
  • Por que isso é válido (intuição): se g(x) se aproxima de g(a) quando x\to a, e f não “estraga” pequenas variações (isto é, é contínua em g(a)), então aplicar f depois de g dá o mesmo que aplicar f no valor limite g(a).
  • Exemplos simples para fixar a ideia:
    • Polinômios são contínuos em todo ponto: por exemplo, \lim_{x\to 0} x^{2}=0 e x^{2} toma valor 0 em 0.
    • Se p e q são contínuas e q(a)\neq 0, então p/q é contínua em a. Assim, razões de polinômios com denominador não nulo no ponto são contínuas.
    • A função \cos é contínua em todo ponto real (é uma função elementar contínua).
  • Conclusão prática: se mostrarmos que g é contínua em 0 e que \cos é contínua em g(0), então podemos simplesmente calcular \cos(g(0)) para obter o limite.

Passo 3

Verificar continuidade das partes e calcular g(0):
  • A função interior é g(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}+2}. Como numerador e denominador são polinômios, ambos são contínuos. Em x=0 temos x^{2}+2=2\neq 0, portanto a razão é contínua em 0. Logo \displaystyle\lim_{x\to 0} g(x)=g(0).
  • Calcular g(0):
g(0)=\frac{0^{2}+1}{0^{2}+2}=\frac{1}{2}.
  • Alternativamente, pelo cálculo de limite direto usando limites de polinômios:
\lim_{x\to 0} (x^{2}+1)=1,\qquad \lim_{x\to 0} (x^{2}+2)=2,
então
\lim_{x\to 0} \frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Aplicar o teorema da continuidade de funções compostas para concluir o limite pedido:
  • Sabendo que \lim_{x\to 0} g(x)=g(0)=\dfrac{1}{2} e que f(t)=\cos(t) é contínua em t=\dfrac{1}{2}, segue que
\lim_{x\to 0} \cos\!\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}\right)=\cos\!\left(\lim_{x\to 0}\frac{x^{2}+1}{x^{2}+2}\right)=\cos\!\left(\frac{1}{2}\right).
  • Comentário prático: em provas, este é o procedimento padrão — se a parte interna tende a um número e a função externa é contínua nesse número, pode-se “passar o limite para dentro” e avaliar a função externa no limite.

Resposta

\cos\!\left(\dfrac{1}{2}\right)

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