Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações que o enunciado dá e elementos úteis (lista clara do que temos):
- A função composta é
com a parte exterior e a parte interior . - O ponto onde tomamos o limite é
. - Observações diretas dos termos:
e são polinômios; em a parte de baixo vale .
Nada mais é pedido além de calcular esse limite.
Passo 2
Explicação didática do que vamos usar — teorema de continuidade de funções compostas e por quê ele vale:
- Definição de continuidade em um ponto
: uma função é contínua em se . Em palavras: o limite existe e é igual ao valor da função. - Teorema de continuidade de compostas (em palavras simples): se
é contínua em e é contínua em , então é contínua em . Consequência prática para limites: . - Por que isso é válido (intuição): se
se aproxima de quando , e não “estraga” pequenas variações (isto é, é contínua em ), então aplicar depois de dá o mesmo que aplicar no valor limite . - Exemplos simples para fixar a ideia:
- Polinômios são contínuos em todo ponto: por exemplo,
e toma valor em . - Se
e são contínuas e , então é contínua em . Assim, razões de polinômios com denominador não nulo no ponto são contínuas. - A função
é contínua em todo ponto real (é uma função elementar contínua).
- Polinômios são contínuos em todo ponto: por exemplo,
- Conclusão prática: se mostrarmos que
é contínua em e que é contínua em , então podemos simplesmente calcular para obter o limite.
Passo 3
Verificar continuidade das partes e calcular
:
- A função interior é
. Como numerador e denominador são polinômios, ambos são contínuos. Em temos , portanto a razão é contínua em . Logo . - Calcular
:
- Alternativamente, pelo cálculo de limite direto usando limites de polinômios:
então
Passo 4
Aplicar o teorema da continuidade de funções compostas para concluir o limite pedido:
- Sabendo que
e que é contínua em , segue que
- Comentário prático: em provas, este é o procedimento padrão — se a parte interna tende a um número e a função externa é contínua nesse número, pode-se “passar o limite para dentro” e avaliar a função externa no limite.