Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
Passo 1
O enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão dentro do limite é a função composta
, onde . - O ponto de interesse é
.
O que é pedido: o valor numérico do limite quandotende a .
Passo 2
Vamos lembrar o que diz o teorema de continuidade para funções compostas (em palavras simples): se
é contínua em
e
é contínua em
, então a composição
é contínua em
e vale
Explicando de forma didática: “contínua em
” significa que não há salto no valor da função ao aproximarmos
de
; formalmente,
. A consequência prática útil na prova é: se conhecemos o valor de
e sabemos que
e
são contínuas, podemos simplesmente substituir
dentro da composição para obter o limite.
Passo 3
Agora identifique as funções envolvidas nessa composição: defina
e
de modo que a função original é
.
Passo 4
Mostrar que podemos aplicar o teorema:
- Polinômios são funções contínuas em todo ponto. A função
é um polinômio, portanto é contínua em . - A função
também é contínua para todo (é uma potência inteira positiva), logo é contínua em .
Comoé contínua em e é contínua em , a composição é contínua em e o teorema vale.
Passo 5
Calcular
e usar o teorema:
Pelo teorema de continuidade de funções compostas,
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre que vir um limite do tipo
ou
com
contínua (potências inteiras, polinômios, funções exponenciais, logaritmos em pontos permitidos, etc.), verifique se
tem limite em
. Se tiver, você pode substituir diretamente:
. Exemplo rápido:
.
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