Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{3}-2 x+1\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1}\left(x^{3}-2x+1\right)^{5}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é a função composta \bigl(g(x)\bigr)^{5}, onde g(x)=x^{3}-2x+1.
  • O ponto de interesse é x=1.
    O que é pedido: o valor numérico do limite quando x tende a 1.

Passo 2

Vamos lembrar o que diz o teorema de continuidade para funções compostas (em palavras simples): se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então a composição f\circ g é contínua em a e vale
\lim_{x\to a} f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(\lim_{x\to a} g(x)\bigr)=f\bigl(g(a)\bigr).
Explicando de forma didática: “contínua em a” significa que não há salto no valor da função ao aproximarmos x de a; formalmente, \lim_{x\to a}h(x)=h(a). A consequência prática útil na prova é: se conhecemos o valor de g(a) e sabemos que f e g são contínuas, podemos simplesmente substituir x=a dentro da composição para obter o limite.

Passo 3

Agora identifique as funções envolvidas nessa composição: defina
g(x)=x^{3}-2x+1
e
f(u)=u^{5},
de modo que a função original é f\bigl(g(x)\bigr).

Passo 4

Mostrar que podemos aplicar o teorema:
  • Polinômios são funções contínuas em todo ponto. A função g(x)=x^{3}-2x+1 é um polinômio, portanto é contínua em x=1.
  • A função f(u)=u^{5} também é contínua para todo u (é uma potência inteira positiva), logo é contínua em u=g(1).
    Como g é contínua em 1 e f é contínua em g(1), a composição f\circ g é contínua em 1 e o teorema vale.

Passo 5

Calcular g(1) e usar o teorema:
g(1)=1^{3}-2\cdot 1 +1 = 1-2+1 = 0.
Pelo teorema de continuidade de funções compostas,
\lim_{x\to 1}\left(x^{3}-2x+1\right)^{5}=f\bigl(g(1)\bigr)=\bigl(g(1)\bigr)^{5}=0^{5}=0.

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre que vir um limite do tipo \lim_{x\to a}h(x)^{n} ou \lim_{x\to a}\varphi(h(x)) com \varphi contínua (potências inteiras, polinômios, funções exponenciais, logaritmos em pontos permitidos, etc.), verifique se h tem limite em a. Se tiver, você pode substituir diretamente: \lim_{x\to a}\varphi(h(x))=\varphi(\lim_{x\to a}h(x)). Exemplo rápido: \lim_{x\to 2}(x^{2}+3)^{4}=(2^{2}+3)^{4}=7^{4}.

Resposta

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