Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
\lim _{x \rightarrow 3} \sqrt{x^{2}-2 x+6}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to 3} \sqrt{x^{2}-2x+6}.
Informações dadas:
  • A função dentro do limite é a composição da raiz quadrada com o polinômio x^{2}-2x+6.
  • O ponto de interesse é x=3.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x tende para 3?

Passo 2

Vou usar o teorema de continuidade de funções compostas. Vou enunciar e explicar isso de forma direta e intuitiva.
Teorema (continuidade de composição): se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então a composição f\circ g é contínua em a. Em particular,
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f\!\big(\lim_{x\to a} g(x)\big) = f(g(a)).
O que significa ser contínuo em a? Significa que \lim_{x\to a} g(x) existe e é igual a g(a). Para funções usuais:
  • Polinômios são contínuos em todo ponto do domínio (ou seja, em todo \mathbb{R}).
  • A função \sqrt{t} é contínua em todo t\ge 0 (o seu domínio).
Vou aplicar esse teorema ao caso concreto com g(x)=x^{2}-2x+6 e f(t)=\sqrt{t}.

Passo 3

Analisar a função interna g(x)=x^{2}-2x+6.
Polinômios são contínuos para todo x. Logo g é contínua em x=3 e vale que
\lim_{x\to 3} g(x)=g(3).
Calcular g(3):
g(3)=3^{2}-2\cdot 3+6=9-6+6=9.

Passo 4

Analisar a função externa f(t)=\sqrt{t}.
A função \sqrt{t} está definida e é contínua para todo t\ge 0. Como g(3)=9 e 9\ge 0, o ponto t=g(3) está no domínio onde \sqrt{t} é contínua. Portanto podemos aplicar a composição.

Passo 5

Aplicando o teorema de continuidade de composição:
\lim_{x\to 3} \sqrt{x^{2}-2x+6} = \sqrt{\lim_{x\to 3} (x^{2}-2x+6)} = \sqrt{g(3)} = \sqrt{9}.
Calcule a raiz:
\sqrt{9}=3.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova: sempre que a função for uma composição de um polinômio (ou outra função contínua) com a raiz quadrada, verifique primeiro se o valor interno no ponto é não negativo; se for, pode fazer a substituição direta pelo valor do ponto, como fizemos aqui. Isso economiza tempo e evita erro de domínio.

Resposta

3

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