Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
Passo 1
O enunciado pede o valor de
Informações dadas:
- A função dentro do limite é a composição da raiz quadrada com o polinômio
. - O ponto de interesse é
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando
tende para
?
Passo 2
Vou usar o teorema de continuidade de funções compostas. Vou enunciar e explicar isso de forma direta e intuitiva.
Teorema (continuidade de composição): se
é contínua em
e
é contínua em
, então a composição
é contínua em
. Em particular,
O que significa ser contínuo em
? Significa que
existe e é igual a
. Para funções usuais:
- Polinômios são contínuos em todo ponto do domínio (ou seja, em todo
). - A função
é contínua em todo (o seu domínio).
Vou aplicar esse teorema ao caso concreto com
e
.
Passo 3
Analisar a função interna
.
Polinômios são contínuos para todo
. Logo
é contínua em
e vale que
Calcular
:
Passo 4
Analisar a função externa
.
A função
está definida e é contínua para todo
. Como
e
, o ponto
está no domínio onde
é contínua. Portanto podemos aplicar a composição.
Passo 5
Aplicando o teorema de continuidade de composição:
Calcule a raiz:
Passo 6
Interpretação final e dica para a prova: sempre que a função for uma composição de um polinômio (ou outra função contínua) com a raiz quadrada, verifique primeiro se o valor interno no ponto é não negativo; se for, pode fazer a substituição direta pelo valor do ponto, como fizemos aqui. Isso economiza tempo e evita erro de domínio.