Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações dadas que vamos usar:
- A expressão interior é o polinômio
. - A função exterior é
. - A pergunta é: qual é o valor numérico do limite quando
tende a ?
Passo 2
Vamos separar a composição em duas funções para ficar claro:
- Defina
. Esta é a função interior. - Defina
. Esta é a função exterior, onde é a variável de entrada de .
Explicação simples: a expressão original é
. Nosso objetivo é achar
.
Passo 3
Enunciado do teorema que vamos usar (explicado de forma didática):
Seja tal que
e seja
contínua em
. Então
Seja
O que significa "contínua em
"? Significa que ao aproximarmos a entrada de
por valores próximos de
, o valor de
também se aproxima de
. Em linguagem mais informal: se
não tem “saltos” no ponto
, dá para trocar o limite por uma substituição direta.
Aplicações práticas que usamos aqui:
- Polinômios (como
) são contínuos em todo . Logo . - A função
é contínua em todo . Portanto podemos aplicar o teorema acima com sem problemas.
Passo 4
Calcular
usando continuidade do polinômio:
Compute passo a passo:
Portanto
Passo 5
Agora aplicamos o teorema da composição: como
é contínua em
, temos
E
(no círculo trigonométrico, o seno de
é a coordenada
, que vale
).