Calcule os limites abaixo usando o teorema de continuidade de funções compostas:
\lim _{x \rightarrow 2} \operatorname{sen}\left(x^{2}-3 x+2\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 2} \operatorname{sen}\!\bigl(x^{2}-3x+2\bigr).
Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão interior é o polinômio x^{2}-3x+2.
  • A função exterior é \operatorname{sen}(\cdot).
  • A pergunta é: qual é o valor numérico do limite quando x tende a 2?

Passo 2

Vamos separar a composição em duas funções para ficar claro:
  • Defina g(x)=x^{2}-3x+2. Esta é a função interior.
  • Defina f(u)=\operatorname{sen}(u). Esta é a função exterior, onde u é a variável de entrada de f.
Explicação simples: a expressão original é f(g(x)). Nosso objetivo é achar \lim_{x\to 2} f(g(x)).

Passo 3

Enunciado do teorema que vamos usar (explicado de forma didática):
Seja g tal que \lim_{x\to a} g(x)=L e seja f contínua em L. Então
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f\bigl(\lim_{x\to a} g(x)\bigr) = f(L).
O que significa "contínua em L"? Significa que ao aproximarmos a entrada de f por valores próximos de L, o valor de f também se aproxima de f(L). Em linguagem mais informal: se f não tem “saltos” no ponto L, dá para trocar o limite por uma substituição direta.
Aplicações práticas que usamos aqui:
  • Polinômios (como g(x)) são contínuos em todo \mathbb{R}. Logo \lim_{x\to 2} g(x)=g(2).
  • A função \operatorname{sen} é contínua em todo \mathbb{R}. Portanto podemos aplicar o teorema acima com f=\operatorname{sen} sem problemas.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 2} g(x) usando continuidade do polinômio:
g(2)=2^{2}-3\cdot 2+2.
Compute passo a passo:
2^{2}=4, \qquad -3\cdot 2=-6,
4-6+2=(4-6)+2=(-2)+2=0.
Portanto
\lim_{x\to 2} g(x)=g(2)=0.

Passo 5

Agora aplicamos o teorema da composição: como \operatorname{sen} é contínua em 0, temos
\lim_{x\to 2} \operatorname{sen}\!\bigl(g(x)\bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(\lim_{x\to 2} g(x)\bigr)=\operatorname{sen}(0).
E \operatorname{sen}(0)=0 (no círculo trigonométrico, o seno de 0 é a coordenada y, que vale 0).

Resposta

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