Calcule os limites abaixo. (use preferencialmente o teorema do confronto e suas consequências)
lim x infty x^2-sen^2(x)x-cos (x)

Passo 1

Estamos olhando para o limite e vamos usar principalmente o Teorema do Confronto, que diz que se uma função fica presa entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela tem esse limite também. Aqui, como esperamos um crescimento infinito, basta mostrar que tanto a “menor” quanto a “maior” comparação vão a limxtoinftyx^2-sin^2(x)x-cos(x) O assunto é limites para (xtoinfty.

Passo 2

Note que 0<=sin^2(x)<=1 e também -1<=cos(x)<=1. A partir daí obtemos as desigualdades:
0<=sin^2(x)<=1 implies x^2-1<= x^2-sin^2(x)<= x^2
-1<=cos(x)<=1 implies x-1<= x-cos(x)<= x+1

Passo 3

Para x>1, o denominador x-cos(x) é positivo, então podemos dividir as desigualdades anteriores e obter:
x^2-1x+1<=x^2-sin^2(x)x-cos(x)<=x^2x-1

Passo 4

Agora calculamos os limites das funções de comparação quando xtoinfty:
  • x^2-1x+1=x-1to+infty.
  • x^2x-1=x+1+1x-1to+infty.

Passo 5

Como ambos os limites das extremas vão a +infty, o Teorema do Confronto nos garante que x^2-sin^2(x)x-cos(x)to+infty também.

Passo 6

Logo, o limite pedido diverge para mais infinito.

Resposta

+infty

Exercícios relacionados