Calcule os limites abaixo e verifique se as funções são contínuas nos seus respectivos pontos.
lim (x, y) (-1,2) x y^3x+y

Passo 1

O enunciado pede o limite de
x,y^3x+y
quando (x,y)to(-1,2) e, em seguida, verificar se a função
f(x,y)=x,y^3x+y
é contínua em (-1,2). Isso envolve limites em R^2 e o critério de continuidade de funções racionais.

Passo 2

Para poder simplesmente substituir, precisamos checar se o denominador se anula em (-1,2). Calculamos
x+y = (-1)+2 = 1 neq 0,
logo f está bem definida num entorno de (-1,2).

Passo 3

Numerador e denominador são polinômios e o denominador é não nulo em (-1,2). Portanto, f é contínua nesse ponto e o limite coincide com o valor de f em (-1,2). Assim,
lim(x,y)to(-1,2) x,y^3x+y = f(-1,2) = (-1)cdot 2^31 = -8

Passo 4

Concluímos que f é contínua em (-1,2) porque é uma função racional cujo denominador não se anula nesse ponto.

Resposta

lim(x,y)to(-1,2) x,y^3x+y = -8. A função é contínua em (-1,2).

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