Resolva em R as inequaçōes :
\left|\frac{x+2}{x-2}\right|<3

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a inequação
\left|\frac{x+2}{x-2}\right|<3.
O conteúdo aqui é inequação com valor absoluto de uma função racional. Para resolver vamos:
  1. Determinar o domínio de \frac{x+2}{x-2}.
  2. Usar que \bigl|A\bigr|<3 equivale a -3<A<3.
  3. Resolver as duas inequações lineares resultantes.
  4. Intersectar as soluções e respeitar o domínio.

Passo 2

O domínio de \displaystyle \frac{x+2}{x-2} é todos os x tais que o denominador não zere, ou seja
x\neq 2.

Passo 3

Aplicando \bigl|A\bigr|<3 com A=(x+2)/(x-2), obtemos o sistema
-3<\frac{x+2}{x-2}<3.

Passo 4

Resolvendo a parte superior \displaystyle \frac{x+2}{x-2}<3:
\frac{x+2}{x-2}-3<0 \;\Longrightarrow\; \frac{x+2-3(x-2)}{x-2}<0 \;\Longrightarrow\; \frac{-2x+8}{x-2}<0 \;\Longrightarrow\; \frac{x-4}{x-2}>0.
O sinal de \frac{x-4}{x-2} é positivo quando numerador e denominador têm o mesmo sinal, dando
x>4\quad\text{ou}\quad x<2.
Logo a solução dessa inequação é
(-\infty,2)\;\cup\;(4,\infty).

Passo 5

Resolvendo a parte inferior \displaystyle \frac{x+2}{x-2}>-3:
\frac{x+2}{x-2}+3>0 \;\Longrightarrow\; \frac{x+2+3(x-2)}{x-2}>0 \;\Longrightarrow\; \frac{4x-4}{x-2}>0 \;\Longrightarrow\; \frac{x-1}{x-2}>0.
Isso ocorre quando
x>2\\ \text{e}\\ x>1\quad\text{ou}\quad x<2\\ \text{e}\\ x<1,
isto é
(-\infty,1)\;\cup\;(2,\infty).

Passo 6

Agora intersectamos as soluções das duas partes com o domínio x\neq2:
\bigl((-\infty,2)\cup(4,\infty)\bigr)\;\cap\;\bigl((-\infty,1)\cup(2,\infty)\bigr) \;=\; (-\infty,1)\;\cup\;(4,\infty).

Resposta

x\in(-\infty,1)\;\cup\;(4,\infty).

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