Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
c) \lim_{x \to 0} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a 0 da função f(x)=x.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=x.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    Pergunta clara: qual é \lim_{x\to 0} x?

Passo 2

Intuição (sem formalidade): se a função dá de volta exatamente o valor da entrada ( f(x)=x), ao aproximarmos x de 0 o valor f(x) também se aproxima de 0. Ou seja, olhando de forma direta, espera-se que o limite seja 0. Agora vamos provar isso de forma rigorosa.

Passo 3

Definição formal de limite (a ferramenta que vamos usar). Dizemos que
\lim_{x\to a} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0 (tolerância no valor da função) existir um \delta>0 (tolerância na variável x) tal que, sempre que
0<|x-a|<\delta,
temos
|f(x)-L|<\varepsilon.
Aqui: \varepsilon é um número positivo pequeno escolhido por quem quer a precisão no valor da função; \delta é um número positivo que vamos escolher para garantir que, entrando na faixa \delta ao redor de a, a diferença da função para L fique menor que \varepsilon.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso f(x)=x, a=0. Queremos mostrar que existe L (e qual é) tal que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 com
0<|x-0|<\delta \quad\Rightarrow\quad |x-L|<\varepsilon.
Observe que aqui |x-0|=|x|. Se tentarmos L=0 (a intuição sugere isso), então |x-L|=|x-0|=|x|. Para conseguir |x|<\varepsilon basta escolher \delta=\varepsilon. De fato, sempre que
0<|x|<\delta=\varepsilon,
temos imediatamente |x|<\varepsilon, que é exatamente a condição desejada.

Passo 5

Concluímos pela definição de limite que, para todo \varepsilon>0 existe \delta=\varepsilon>0 tal que 0<|x|<\delta implica |x-0|<\varepsilon. Portanto a escolha L=0 satisfaz a definição, isto é,
\lim_{x\to 0} x = 0.
Comentário prático e dica de prova rápida para a prova: funções polinomiais e lineares são contínuas em todo ponto, então seu limite quando x\to a é simplesmente o valor da função em a. Para f(x)=x isso dá direto f(0)=0. Se quiser uma prova completa na prova, faça a prova \varepsilon- \delta curta acima (escolhendo \delta=\varepsilon) — costuma ser a forma exigida em avaliações mais rigorosas.

Resposta

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