Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
.
Pergunta clara: qual é?
Passo 2
Intuição (sem formalidade): se a função dá de volta exatamente o valor da entrada (
), ao aproximarmos
de
o valor
também se aproxima de
. Ou seja, olhando de forma direta, espera-se que o limite seja
. Agora vamos provar isso de forma rigorosa.
Passo 3
Definição formal de limite (a ferramenta que vamos usar). Dizemos que
se, para todo
(tolerância no valor da função) existir um
(tolerância na variável
) tal que, sempre que
temos
Aqui:
é um número positivo pequeno escolhido por quem quer a precisão no valor da função;
é um número positivo que vamos escolher para garantir que, entrando na faixa
ao redor de
, a diferença da função para
fique menor que
.
Passo 4
Aplicando a definição ao caso
,
. Queremos mostrar que existe
(e qual é) tal que, para todo
, existe
com
Observe que aqui
. Se tentarmos
(a intuição sugere isso), então
. Para conseguir
basta escolher
. De fato, sempre que
temos imediatamente
, que é exatamente a condição desejada.
Passo 5
Concluímos pela definição de limite que, para todo
existe
tal que
implica
. Portanto a escolha
satisfaz a definição, isto é,
Comentário prático e dica de prova rápida para a prova: funções polinomiais e lineares são contínuas em todo ponto, então seu limite quando
é simplesmente o valor da função em
. Para
isso dá direto
. Se quiser uma prova completa na prova, faça a prova
-
curta acima (escolhendo
) — costuma ser a forma exigida em avaliações mais rigorosas.