Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
d) \lim_{x \to -\infty} 1

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x \to -\infty} 1.
Informações dadas: a função considerada é a função constante cujo valor é sempre 1, isto é, para todo x vale f(x)=1. A variável x tende para -\infty.

Passo 2

Entendendo o que significa limite quando x\to -\infty. Intuitivamente, dizer que
\lim_{x\to -\infty} f(x)=L
significa que ao tomar valores de x cada vez mais negativos (isto é, indo para a esquerda na reta), os valores f(x) ficam arbitrariamente próximos de L. Formalmente, isto quer dizer: para todo \epsilon>0 existe um número M>0 tal que, para todo x< -M, tem-se |f(x)-L|<\epsilon. (Repare que usamos x< -M porque x vai para -\infty.)
Vou explicar bem devagar: \epsilon é quão perto queremos ficar do valor limite L. O número M diz a partir de que ponto, para x suficientemente negativo, essa proximidade é garantida.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso da função constante f(x)=1. Se supomos que o limite existe e é L, então devemos verificar o critério:
\text{para todo }\epsilon>0\\ \exists M>0\\ \text{tal que, para todo }x< -M,\\ |f(x)-L|<\epsilon.
Como f(x)=1 para todo x, temos |f(x)-1|=|1-1|=0 para qualquer x. Logo, para qualquer \epsilon>0 e para qualquer escolha de M>0 (por exemplo M=1), vale
|f(x)-1|=0<\epsilon\quad\text{para todo }x< -M.
Isso mostra que a condição da definição é satisfeita com L=1. Portanto o limite, se existe, deve ser 1.

Passo 4

Também existe um resultado fundamental (fácil e muito usado em prova): o limite de uma função constante, quando a variável tende a qualquer ponto finito ou a \pm\infty, é exatamente o valor constante. Em símbolos:
\lim_{x\to a} c = c,\qquad \lim_{x\to\infty} c = c,\qquad \lim_{x\to -\infty} c = c,
para qualquer constante c. Aqui c=1, então pelo resultado imediato:
\lim_{x\to -\infty} 1 = 1.

Resposta

1

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