Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
lim x 0 e^-a x-e^-b xx cdot b-a

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0e^-ax-e^-bxxcdot(b-a). O conteúdo é limite de funções exponenciais e vamos usar o limite fundamental limuto0e^u-1u=1.

Passo 2

Reescrevemos a diferença no numerador como a soma de duas frações:
e^-ax-e^-bxx=e^-ax-1x-e^-bx-1x
Isso permite aplicar o limite fundamental em cada termo.

Passo 3

Aplicando o limite em cada fração usando o fato de que limxto0e^kx-1x=k:
limxto0e^-ax-1x=-a, limxto0e^-bx-1x=-b
Então
limxto0e^-ax-e^-bxx=(-a)-(-b)=b-a

Passo 4

Como o fator (b-a) está multiplicando a fração, podemos tirá-lo para fora do limite. Logo
limxto0e^-ax-e^-bxxcdot(b-a)=(b-a)cdotl(b-ar)=(b-a)^2

Resposta

(b-a)^2

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