Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x-\cos x \operatorname{sen} x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x-\cos x \operatorname{sen} x}{x^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável tende para \,0.
  • A expressão envolve as funções trigonométricas seno e cosseno.
  • Deve-se “aplicar os limites fundamentais” (os limites clássicos \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1 e \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\tfrac{1}{2}).

Passo 2

Primeiro, faço uma simplificação algébrica para ver a estrutura do limite. Fatorei \sin x no numerador:
\frac{\operatorname{sen} x-\cos x \operatorname{sen} x}{x^{2}} = \frac{\operatorname{sen} x\,(1-\cos x)}{x^{2}}.

Passo 3

Reescrevo a expressão como produto de fatores que lembram os limites fundamentais:
\frac{\operatorname{sen} x\,(1-\cos x)}{x^{2}} = \left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)\left(\frac{1-\cos x}{x}\right).
Essa decomposição é útil porque o primeiro fator tem o limite conhecido \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x} e o segundo pode ser relacionado a \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}.

Passo 4

Vou explicar e justificar o primeiro limite fundamental usado:
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Rascunho didático (squeeze): para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica \sin x < x < \tan x. Dividindo por \sin x e rearranjando obtém-se
\cos x < \frac{\operatorname{sen} x}{x} < 1.
Ao fazer x\to0^+ temos \cos x\to1, então pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que \dfrac{\sin x}{x}\to1. A função \dfrac{\sin x}{x} é par, então o mesmo limite vale por x\to0^-. Logo o limite é 1.

Passo 5

Agora o segundo limite fundamental que vou usar e justificar:
\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}.
Justificativa usando identidade trigonométrica:
1-\cos x = 2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right).
Portanto
\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \frac{2\sin^{2}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x^{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\right)^{2}.
Como já sabemos que \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1, aplicando com u=\dfrac{x}{2} obtemos que o quadrado tende a 1. Assim o limite é \tfrac{1}{2}.

Passo 6

Volto à expressão do passo 3 e aplico os limites já conhecidos. Note que
\frac{1-\cos x}{x} = x\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}}.
Tomando limites (produto de limites quando existem),
\lim_{x\to0}\left(\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)\left(\frac{1-\cos x}{x}\right) = \left(\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right) \left(\lim_{x\to0} x\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}}\right).
Usando os resultados:
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1, \qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}, \qquad \lim_{x\to0} x = 0.
Então
\lim_{x\to0} x\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}} = \left(\lim_{x\to0} x\right)\left(\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}\right) = 0\cdot\frac{1}{2}=0.
Multiplicando pelos outros fatores:
\left(\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right)\cdot 0 = 1\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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