Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A variável tende para
. - A expressão envolve as funções trigonométricas seno e cosseno.
- Deve-se “aplicar os limites fundamentais” (os limites clássicos
e ).
Passo 2
Primeiro, faço uma simplificação algébrica para ver a estrutura do limite. Fatorei
no numerador:
Passo 3
Reescrevo a expressão como produto de fatores que lembram os limites fundamentais:
Essa decomposição é útil porque o primeiro fator tem o limite conhecido
e o segundo pode ser relacionado a
.
Passo 4
Vou explicar e justificar o primeiro limite fundamental usado:
Rascunho didático (squeeze): para
vale a desigualdade geométrica
. Dividindo por
e rearranjando obtém-se
Ao fazer
temos
, então pelo Teorema do Confronto (squeeze) segue que
. A função
é par, então o mesmo limite vale por
. Logo o limite é
.
Passo 5
Agora o segundo limite fundamental que vou usar e justificar:
Justificativa usando identidade trigonométrica:
Portanto
Como já sabemos que
, aplicando com
obtemos que o quadrado tende a
. Assim o limite é
.
Passo 6
Volto à expressão do passo 3 e aplico os limites já conhecidos. Note que
Tomando limites (produto de limites quando existem),
Usando os resultados:
Então
Multiplicando pelos outros fatores: