Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado pede o limite
Informações relevantes que temos:
- A base é
. Quando temos , logo . - O expoente é
quando .
Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo. Isso nos indica que é conveniente trabalhar com o logaritmo da expressão para transformar a indeterminação numa forma de quociente adequada para aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Defino
Tomando logaritmo natural:
Se eu conseguir o limite
então o limite pedido será
. Vou calcular
. Reescrevo
como um quociente para aplicar L’Hôpital:
Agora verifico as condições para L’Hôpital: quando
,
então
; e
. Logo temos uma indeterminação do tipo
e podemos aplicar a regra de L’Hôpital, desde que as derivadas existam numa vizinhança (suficiente) de infinito — aqui as funções são diferenciáveis para
grande e podemos prosseguir.
Passo 3
Aplico L’Hôpital: preciso das derivadas do numerador e do denominador em relação a
.
Derivada do numerador
:
- Uso a regra da cadeia. Primeiro derivada de
é . - Aqui
. Derivada de é . - Derivada de
é .
Combinando:
Os dois sinais negativos se cancelam, ficando
Derivada do denominador
é
Pela regra de L’Hôpital,
Passo 4
Faço a simplificação algébrica do quociente:
Logo
Para avaliar esse limite, faço a substituição
. Quando
tem-se
e
. Assim
Então
Conhecimento chave (demonstrável por série ou usando
e
):
. Explicando rápido:
e
e
, portanto
.
Portanto
Passo 5
Voltando ao objeto original: como
, temos
. Isso significa