Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \left(\frac{2}{x}\right)\right)^{x^{2}}\

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado pede o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\cos\!\left(\frac{2}{x}\right)\right)^{x^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A base é \cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right). Quando x\to\infty temos \dfrac{2}{x}\to0, logo \cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)\to1.
  • O expoente é x^{2}\to\infty quando x\to\infty.
    Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo 1^{\infty}. Isso nos indica que é conveniente trabalhar com o logaritmo da expressão para transformar a indeterminação numa forma de quociente adequada para aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Defino
y(x)=\left(\cos\!\left(\frac{2}{x}\right)\right)^{x^{2}}.
Tomando logaritmo natural:
\ln y(x)=x^{2}\ln\!\left(\cos\!\left(\frac{2}{x}\right)\right).
Se eu conseguir o limite
L=\lim_{x\to\infty} \ln y(x)=\lim_{x\to\infty} x^{2}\ln\!\left(\cos\!\left(\frac{2}{x}\right)\right),
então o limite pedido será \lim_{x\to\infty} y(x)=e^{L}. Vou calcular L. Reescrevo L como um quociente para aplicar L’Hôpital:
L=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\left(\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)\right)}{1/x^{2}}.
Agora verifico as condições para L’Hôpital: quando x\to\infty, \cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)\to1 então \ln(\cdot)\to0; e 1/x^{2}\to0. Logo temos uma indeterminação do tipo 0/0 e podemos aplicar a regra de L’Hôpital, desde que as derivadas existam numa vizinhança (suficiente) de infinito — aqui as funções são diferenciáveis para x grande e podemos prosseguir.

Passo 3

Aplico L’Hôpital: preciso das derivadas do numerador e do denominador em relação a x.
Derivada do numerador N(x)=\ln\!\left(\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)\right):
  • Uso a regra da cadeia. Primeiro derivada de \ln(u) é u'/u.
  • Aqui u(x)=\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right). Derivada de u é u'(x)=-\sin\!\left(\dfrac{2}{x}\right)\cdot\left(\dfrac{2}{x}\right)'.
  • Derivada de \dfrac{2}{x} é -\dfrac{2}{x^{2}}.
Combinando:
N'(x)=\frac{1}{\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)}\cdot\left(-\sin\!\left(\dfrac{2}{x}\right)\right)\cdot\left(-\frac{2}{x^{2}}\right).
Os dois sinais negativos se cancelam, ficando
N'(x)=\frac{2}{x^{2}}\cdot\frac{\sin\!\left(\dfrac{2}{x}\right)}{\cos\!\left(\dfrac{2}{x}\right)} =\frac{2}{x^{2}}\tan\!\left(\frac{2}{x}\right).
Derivada do denominador D(x)=1/x^{2}=x^{-2} é
D'(x)=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^{3}}.
Pela regra de L’Hôpital,
L=\lim_{x\to\infty}\frac{N'(x)}{D'(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{2}{x^{2}}\tan\!\left(\dfrac{2}{x}\right)}{-\dfrac{2}{x^{3}}}.

Passo 4

Faço a simplificação algébrica do quociente:
\frac{\dfrac{2}{x^{2}}\tan\!\left(\dfrac{2}{x}\right)}{-\dfrac{2}{x^{3}}} = \left(\frac{2}{x^{2}}\tan\!\left(\frac{2}{x}\right)\right)\cdot\left(-\frac{x^{3}}{2}\right) = -x\tan\!\left(\frac{2}{x}\right).
Logo
L=\lim_{x\to\infty}\left(-x\tan\!\left(\frac{2}{x}\right)\right).
Para avaliar esse limite, faço a substituição u=\dfrac{2}{x}. Quando x\to\infty tem-se u\to0^{+} e x=\dfrac{2}{u}. Assim
-x\tan\!\left(\frac{2}{x}\right) = -\frac{2}{u}\tan(u).
Então
L=\lim_{u\to0}\left(-\frac{2}{u}\tan(u)\right) = -2\lim_{u\to0}\frac{\tan(u)}{u}.
Conhecimento chave (demonstrável por série ou usando \sin u\sim u e \cos u\sim1): \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\tan(u)}{u}=1. Explicando rápido: \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u} e \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1 e \lim_{u\to0}\cos u=1, portanto \lim_{u\to0}\dfrac{\tan u}{u}=1.
Portanto
L=-2\cdot 1=-2.

Passo 5

Voltando ao objeto original: como \ln y(x)\to L=-2, temos y(x)\to e^{L}=e^{-2}. Isso significa
\lim_{x\to\infty}\left(\cos\!\left(\frac{2}{x}\right)\right)^{x^{2}}=e^{-2}.

Resposta

e^{-2}

Exercícios relacionados