Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow 1}(1-x)^{\cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1} (1-x)^{\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)}.
Observações imediatas extraídas do enunciado:
  • Quando x\to 1 temos 1-x\to 0.
  • Quando x\to 1 temos \cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\to \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
  • Assim a expressão tem a forma indeterminada 0^{0}.
  • Importante: para x>1 a base 1-x é negativa, e a potência com expoente real não inteiro pode ficar complexa. Para obter um limite real, devemos considerar a aproximação por valores com x<1, ou seja x\to 1^{-}. A partir de agora trabalharemos com x\to 1^{-} (base positiva tendendo a 0^{+}).

Passo 2

Estratégia clássica para limites do tipo f(x)^{g(x)}: colocar a expressão como y=(\cdots), tomar logaritmo natural e calcular o limite de \ln y. Se \lim \ln y=L existir e for finito, então o limite original é e^{L}.
Defina
y=(1-x)^{\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)}.
Então
\ln y=\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cdot \ln(1-x).
Nosso objetivo passa a ser calcular
\lim_{x\to 1^-}\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\ln(1-x).

Passo 3

Faça a mudança de variável mais natural perto de x=1: seja
h=1-x,
então h\to 0^{+} quando x\to 1^{-}. Reescrevendo:
\ln(1-x)=\ln h
e
\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi(1-h)}{2}\right)=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi h}{2}\right).
Usando a identidade \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=\sin t obtemos
\cos\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{\pi h}{2}\right).
Portanto
\ln y=\sin\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\cdot \ln h, \qquad h\to 0^{+}.

Passo 4

Agora precisamos do limite
S=\lim_{h\to 0^{+}}\sin\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\ln h.
Observe que \ln h\to -\infty e \sin\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\to 0^{+}, ou seja temos uma indeterminação do tipo 0\cdot(-\infty). Transformamos o produto em quociente para poder aplicar a regra de L’Hôpital:
\sin\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\ln h = \frac{\ln h}{\csc\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)}.
Agora o numerador \ln h\to -\infty e o denominador \csc\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)=1/\sin\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\to +\infty, portanto a forma é -\infty/\infty e podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 5

Aplique L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a h.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dh}\big(\ln h\big)=\frac{1}{h}.
Derivada do denominador: escreva u(h)=\frac{\pi h}{2}. Então \csc(u)=\csc\!\left(\frac{\pi h}{2}\right) e
\frac{d}{dh}\csc(u) = -\csc(u)\cot(u)\cdot u'(h) = -\csc\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\cot\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\cdot\frac{\pi}{2}.
Pela regra de L’Hôpital o limite S é igual a
S=\lim_{h\to 0^{+}} \frac{\dfrac{1}{h}}{-\dfrac{\pi}{2}\csc\!\left(\dfrac{\pi h}{2}\right)\cot\!\left(\dfrac{\pi h}{2}\right)} = \lim_{h\to 0^{+}} -\frac{1}{\dfrac{\pi}{2}\,h\,\csc\!\left(\dfrac{\pi h}{2}\right)\cot\!\left(\dfrac{\pi h}{2}\right)}.

Passo 6

Para avaliar esse limite use aproximações para pequenos argumentos (série de Taylor de primeira ordem):
\sin t \sim t,\qquad \cos t \sim 1\quad (t\to 0).
Com t=\dfrac{\pi h}{2} temos, para h\to 0^{+},
\sin\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\sim \frac{\pi h}{2}, \qquad \csc\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\sim \frac{2}{\pi h}, \qquad \cot\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)=\frac{\cos(t)}{\sin(t)}\sim \frac{1}{t}\sim \frac{2}{\pi h}.
Logo o produto
\csc\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\cot\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\sim \frac{2}{\pi h}\cdot\frac{2}{\pi h}=\frac{4}{\pi^{2}h^{2}}.
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos, assintoticamente,
-\frac{1}{\dfrac{\pi}{2}\,h\,\csc\!\left(\dfrac{\pi h}{2}\right)\cot\!\left(\dfrac{\pi h}{2}\right)} \sim -\frac{1}{\dfrac{\pi}{2}\,h\cdot \dfrac{4}{\pi^{2}h^{2}}} = -\frac{1}{\dfrac{2}{\pi}\cdot\dfrac{1}{h}} = -\frac{\pi}{2}\,h.
Como h\to 0^{+} concluímos que esse termo tende a 0. Portanto
S=\lim_{h\to 0^{+}}\sin\!\left(\frac{\pi h}{2}\right)\ln h = 0.

Passo 7

Voltando à variável original: \ln y\to 0 quando x\to 1^{-}. Portanto, usando a continuidade da exponencial,
\lim_{x\to 1^{-}} y=\lim_{x\to 1^{-}} e^{\ln y}=e^{0}=1.
Como a versão real da função só faz sentido para x<1 (próximo de 1), esse é o limite real procurado para x\to 1.

Resposta

1

Exercícios relacionados