Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Observações imediatas extraídas do enunciado:
- Quando
temos . - Quando
temos . - Assim a expressão tem a forma indeterminada
. - Importante: para
a base é negativa, e a potência com expoente real não inteiro pode ficar complexa. Para obter um limite real, devemos considerar a aproximação por valores com , ou seja . A partir de agora trabalharemos com (base positiva tendendo a ).
Passo 2
Estratégia clássica para limites do tipo
: colocar a expressão como
, tomar logaritmo natural e calcular o limite de
. Se
existir e for finito, então o limite original é
.
Defina
Então
Nosso objetivo passa a ser calcular
Passo 3
Faça a mudança de variável mais natural perto de
: seja
então
quando
. Reescrevendo:
e
Usando a identidade
obtemos
Portanto
Passo 4
Agora precisamos do limite
Observe que
e
, ou seja temos uma indeterminação do tipo
. Transformamos o produto em quociente para poder aplicar a regra de L’Hôpital:
Agora o numerador
e o denominador
, portanto a forma é
e podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 5
Aplique L’Hôpital diferenciando numerador e denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador: escreva
. Então
e
Pela regra de L’Hôpital o limite
é igual a
Passo 6
Para avaliar esse limite use aproximações para pequenos argumentos (série de Taylor de primeira ordem):
Com
temos, para
,
Logo o produto
Substituindo na expressão do passo anterior obtemos, assintoticamente,
Como
concluímos que esse termo tende a
. Portanto
Passo 7
Voltando à variável original:
quando
. Portanto, usando a continuidade da exponencial,
Como a versão real da função só faz sentido para
(próximo de
), esse é o limite real procurado para
.