Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede:
- É dado o limite
, onde é uma constante real. - A pergunta: calcular esse limite quando
. - Informação útil a notar: quando
temos .
Passo 2
Transformar a expressão para um quociente que permita usar a regra de L’Hôpital:
- Escrevo o produto como quociente para obter uma forma indeterminada padrão:
- Agora avalio os limites das partes separadas quando
: -
. -
.
-
- Portanto temos a forma indeterminada
, situação em que a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (se as funções forem diferenciáveis nas proximidades e o limite das derivadas existir).
Passo 3
Lembrete rápido (em palavras): o que diz a regra de L’Hôpital que vamos usar
- Se para
tendendo a um ponto (ou a ) as funções e tendem a ou ambas tendem a , e se e são diferenciáveis próximos ao ponto com , então
desde que o limite à direita exista (ou seja
).
- Aqui
e satisfazem as hipóteses para grande (são diferenciáveis para ), então podemos aplicar L’Hôpital.
Passo 4
Derivar numerador e denominador passo a passo (cadeia e regra de potência):
- Derivada do denominador
:
- Derivada do numerador
. Usar a regra da cadeia: se então . Aqui , então
- Assim
Passo 5
Formar o quociente das derivadas e simplificar:
- Pela regra de L’Hôpital,
- Os sinais negativos se cancelam e os fatores
também cancelam:
Passo 6
Avaliar o limite final:
- Agora basta tomar
em . Como e é contínua,
Passo 7
Comentário final e alternativa curta:
- Resultado intuitivo usando aproximação de ângulo pequeno:
quando . Aqui pequeno, então , confirmando o resultado obtido com L’Hôpital. - A conclusão vale para qualquer constante real
.