Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x \sin \left(\frac{a}{x}\right)\right)

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede:
  • É dado o limite \displaystyle \lim_{x\to\infty}\bigl(x\sin\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)\bigr), onde a é uma constante real.
  • A pergunta: calcular esse limite quando x\to\infty.
  • Informação útil a notar: quando x\to\infty temos \tfrac{a}{x}\to 0.

Passo 2

Transformar a expressão para um quociente que permita usar a regra de L’Hôpital:
  • Escrevo o produto como quociente para obter uma forma indeterminada padrão:
x\sin\!\Bigl(\tfrac{a}{x}\Bigr)=\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)}{\tfrac{1}{x}}.
  • Agora avalio os limites das partes separadas quando x\to\infty:
    • \sin\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)\to \sin(0)=0.
    • \tfrac{1}{x}\to 0.
  • Portanto temos a forma indeterminada 0/0, situação em que a regra de L’Hôpital pode ser aplicada (se as funções forem diferenciáveis nas proximidades e o limite das derivadas existir).

Passo 3

Lembrete rápido (em palavras): o que diz a regra de L’Hôpital que vamos usar
  • Se para x tendendo a um ponto (ou a \pm\infty) as funções f(x) e g(x) tendem a 0 ou ambas tendem a \pm\infty, e se f e g são diferenciáveis próximos ao ponto com g'(x)\neq 0, então
\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty).
  • Aqui f(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr) e g(x)=\tfrac{1}{x} satisfazem as hipóteses para x grande (são diferenciáveis para x\neq 0), então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Derivar numerador e denominador passo a passo (cadeia e regra de potência):
  • Derivada do denominador g(x)=\tfrac{1}{x}=x^{-1}:
g'(x)=-1\cdot x^{-2}=-\tfrac{1}{x^{2}}.
  • Derivada do numerador f(x)=\sin\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr). Usar a regra da cadeia: se h(x)=\sin(u(x)) então h'(x)=\cos(u(x))\,u'(x). Aqui u(x)=\tfrac{a}{x}=a x^{-1}, então
u'(x)=a\cdot(-1)\,x^{-2}=-\tfrac{a}{x^{2}}.
  • Assim
f'(x)=\cos\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)\cdot\bigl(-\tfrac{a}{x^{2}}\bigr)=-\tfrac{a}{x^{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr).

Passo 5

Formar o quociente das derivadas e simplificar:
  • Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)}{\tfrac{1}{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{-\dfrac{a}{x^{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)}{-\dfrac{1}{x^{2}}}.
  • Os sinais negativos se cancelam e os fatores x^{-2} também cancelam:
\frac{-\dfrac{a}{x^{2}}\cos\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)}{-\dfrac{1}{x^{2}}} = a\cos\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr).

Passo 6

Avaliar o limite final:
  • Agora basta tomar x\to\infty em a\cos\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr). Como \tfrac{a}{x}\to 0 e \cos é contínua,
\lim_{x\to\infty}a\cos\!\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)=a\cos(0)=a\cdot 1=a.

Passo 7

Comentário final e alternativa curta:
  • Resultado intuitivo usando aproximação de ângulo pequeno: \sin t\approx t quando t\approx 0. Aqui t=\tfrac{a}{x} pequeno, então x\sin(\tfrac{a}{x})\approx x\cdot\tfrac{a}{x}=a, confirmando o resultado obtido com L’Hôpital.
  • A conclusão vale para qualquer constante real a.

Resposta

a

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