Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
\lim _{x \rightarrow a}\left[\left(a^{2}-x^{2}\right) \operatorname{tg}\left(\frac{\pi x}{2 a}\right)\right]

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to a}\bigl[(a^{2}-x^{2})\tan\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)\bigr].
Informações importantes que o enunciado nos dá:
  • A variável que tende a um ponto é x e o ponto é a.
  • A função é produto de duas partes: a^{2}-x^{2} e \tan\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr).
  • Se avaliarmos as duas partes em x=a obtemos:
    • a^{2}-a^{2}=0.
    • \tan\!\bigl(\tfrac{\pi a}{2a}\bigr)=\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr), que não é finito (a tangente tem uma singularidade em \tfrac{\pi}{2}).
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0\cdot\infty. A regra de L’Hôpital exige uma forma \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}, então precisamos reescrever o produto como quociente antes de aplicar L’Hôpital.

Passo 2

Transformar o produto em quociente de maneira conveniente. Uma boa escolha é dividir por \cot, já que \cot é o recíproco da tangente:
(a^{2}-x^{2})\tan\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr) =\frac{a^{2}-x^{2}}{\cot\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)}.
Agora verifico a forma dessa fração quando x\to a:
  • O numerador tende a 0.
  • O denominador tende a \cot\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
    Logo a fração tem a forma \tfrac{0}{0} e podemos aplicar a regra de L’Hôpital (desde que as funções sejam diferenciáveis numa vizinhança de a exceto possivelmente no próprio a, o que ocorre aqui).

Passo 3

Relembre a regra de L’Hôpital: se \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} tem a forma \tfrac{0}{0} (ou \tfrac{\infty}{\infty}) e f,g são diferenciáveis perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existir. Vou calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Numerador:
\frac{d}{dx}(a^{2}-x^{2})=-2x.
Denominador: seja u(x)=\tfrac{\pi x}{2a}. Então \cot(u(x)) tem derivada dada pela regra da cadeia e pela derivada de \cot:
\frac{d}{dx}\cot(u(x))=-\csc^{2}(u(x))\cdot u'(x).
Como u'(x)=\tfrac{\pi}{2a}, obtemos
\frac{d}{dx}\cot\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)=-\csc^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)\cdot\frac{\pi}{2a}.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, o limite original é igual ao limite das derivadas:
\lim_{x\to a}\frac{a^{2}-x^{2}}{\cot\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)} =\lim_{x\to a}\frac{-2x}{-\dfrac{\pi}{2a}\,\csc^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)}.
Simplifico o sinal e a expressão: como \csc^{2}(t)=\dfrac{1}{\sin^{2}(t)},
\frac{-2x}{-\dfrac{\pi}{2a}\,\csc^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)} =\frac{ -2x }{ -\dfrac{\pi}{2a}\cdot\dfrac{1}{\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)} } = \frac{ -2x }{ -\dfrac{\pi}{2a}\cdot\dfrac{1}{\sin^{2}(\cdot)} } = \frac{ -2x }{ -\dfrac{\pi}{2a}\cdot\dfrac{1}{\sin^{2}(\cdot)} }.
Fazendo as multiplicações e cancelando sinais:
\frac{-2x}{-\dfrac{\pi}{2a}\csc^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)} = \frac{-2x}{-\dfrac{\pi}{2a}\cdot\dfrac{1}{\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)}} = \frac{ -2x }{ -\dfrac{\pi}{2a}\cdot\dfrac{1}{\sin^{2}(\cdot)} } = \frac{4ax}{\pi}\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr).
(Explicando o último passo: inverter a fração no denominador e multiplicar dá um fator \tfrac{2a}{\pi} que cancela com o -2x, resultando em \tfrac{4ax}{\pi}\sin^{2}(\cdot).)

Passo 5

Agora avalio esse resultado no ponto x=a. Como
\sin\!\bigl(\tfrac{\pi a}{2a}\bigr)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1,
segue que
\lim_{x\to a}(a^{2}-x^{2})\tan\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr) =\frac{4a\cdot a}{\pi}\cdot 1^{2}=\frac{4a^{2}}{\pi}.

Passo 6

(Verificação alternativa curta e intuitiva) Se preferir ver de outro jeito: faça y=x-a e note que para y\to 0
a^{2}-x^{2}=-y(2a+y), \qquad \tan\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2a}\bigr)=\tan\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi y}{2a}\bigr)\sim -\frac{1}{\tfrac{\pi y}{2a}}
pela expansão de pequeno ângulo. O produto dá \dfrac{(2a+y)2a}{\pi}, que tende a \dfrac{4a^{2}}{\pi}, confirmando o resultado obtido com L’Hôpital.

Resposta

\frac{4a^{2}}{\pi}

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