Calcule os limites, aplicando a regra de L’Hopital, quando possível:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações importantes que o enunciado nos dá:
- A variável que tende a um ponto é
e o ponto é . - A função é produto de duas partes:
e . - Se avaliarmos as duas partes em
obtemos: -
. -
, que não é finito (a tangente tem uma singularidade em ).
-
- Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. A regra de L’Hôpital exige uma forma ou , então precisamos reescrever o produto como quociente antes de aplicar L’Hôpital.
Passo 2
Transformar o produto em quociente de maneira conveniente. Uma boa escolha é dividir por
, já que
é o recíproco da tangente:
Agora verifico a forma dessa fração quando
:
- O numerador tende a
. - O denominador tende a
.
Logo a fração tem a formae podemos aplicar a regra de L’Hôpital (desde que as funções sejam diferenciáveis numa vizinhança de exceto possivelmente no próprio , o que ocorre aqui).
Passo 3
Relembre a regra de L’Hôpital: se
tem a forma
(ou
) e
são diferenciáveis perto de
, então
quando o limite à direita existir. Vou calcular as derivadas do numerador e do denominador.
Numerador:
Denominador: seja
. Então
tem derivada dada pela regra da cadeia e pela derivada de
:
Como
, obtemos
Passo 4
Aplicando L’Hôpital, o limite original é igual ao limite das derivadas:
Simplifico o sinal e a expressão: como
,
Fazendo as multiplicações e cancelando sinais:
(Explicando o último passo: inverter a fração no denominador e multiplicar dá um fator
que cancela com o
, resultando em
.)
Passo 5
Agora avalio esse resultado no ponto
. Como
segue que
Passo 6
(Verificação alternativa curta e intuitiva) Se preferir ver de outro jeito: faça
e note que para
pela expansão de pequeno ângulo. O produto dá
, que tende a
, confirmando o resultado obtido com L’Hôpital.