Calcule os limites
c) lim x 1^+ x^2-1x^3-4 x^2+5 x-2

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite limxto1^+x^2-1x^3-4x^2+5x-2. É um limite unilateral (direito) de uma função racional. Para resolver, vamos primeiro tentar a substituição direta e, se der indeterminado, usar fatoração de polinômios.

Passo 2

Substituindo x=1 diretamente no numerador e denominador, temos: numerador: 1^2-1=0 e denominador: 1^3-4cdot1^2+5cdot1-2=0. Isso nos dá a forma indeterminada 0/0, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, fatoramos numerador e denominador. Primeiro, o numerador:
x^2-1=(x-1)(x+1)

Passo 4

Agora o denominador. Como x=1 é raiz, dividimos por x-1 usando divisão sintética ou fatoração direta, obtendo:
x^3-4x^2+5x-2=(x-1)^2(x-2)

Passo 5

Depois de fatorar, a expressão vira
x^2-1x^3-4x^2+5x-2=(x-1)(x+1)(x-1)^2(x-2)

Passo 6

Cancelamos um fator (x-1) comum ao numerador e denominador, resultando em
x+1(x-1)(x-2)

Passo 7

Agora analisamos o sinal e o comportamento quando xto1^+: o numerador x+1 tende a 2; no denominador, x-1>0 é um pequeno positivo e x-2<0 é aproximadamente -1. Assim o produto (x-1)(x-2) tende a zero pela esquerda ( 0^-).

Resposta

-infty

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