Determine o limite, quando existir:
g)
g)
Passo 1
O enunciado pede o limite, quando existir, da expressão
.
Informações claras que o enunciado dá:
Informações claras que o enunciado dá:
- A expressão dentro do limite é o produto dos números
e . - A variável
aparece apenas na notação do limite , mas não aparece na expressão . - A pergunta é: qual é o valor de
, se esse limite existir?
Passo 2
Primeira observação intuitiva e simplificação aritmética: o produto de dois números fixos
e
é apenas outro número fixo. Faço a multiplicação:
Portanto a expressão dentro do limite é a constante
, independente de
.
Passo 3
Defino a função constante associada:
Ou seja, para qualquer valor de
(incluindo
próximo de
ou igual a
),
vale sempre
.
Passo 4
Propriedade de limites que usamos: se
é uma função constante com valor
, então
Explicando de forma simples: quando a função não depende de
(é constante), aproximar
de qualquer ponto
não muda o valor da função — ela já vale
exatamente.
Passo 5
Aplicação dessa propriedade ao nosso caso: como
para todo
, para
temos
Logo
Passo 6
Para quem gosta de justificativa rígida (epsilon–delta), aqui vai uma prova curta: seja
qualquer. Como
tem sempre
, temos
para todo
. Assim, basta qualquer
para que, sempre que
, se tenha
. Isso confirma formalmente que
Passo 7
Resumo final e incentivo: a expressão não depende de
, simplifica diretamente para
, e tanto pela propriedade de limites de funções constantes quanto pela prova epsilon–delta o limite existe e vale
. Você tá indo bem — limites de constantes são os mais amigos da prova!