Calcule os limites caso existam
lim t 0(F-G) com F(t)=e^-1t^2 i+cos t j+t^3 k, G(t)=-pi i+1+cos tt j

Passo 1

O enunciado pede
limtto0l(vec F(t)-vec G(t)r)
onde
vec F(t)=e^-1/t^2,vec i+cos t,vec j+t^3,vec k
e
vec G(t)=-pi,vec i+1+cos tt,vec j.
O conteúdo é cálculo de limites de funções vetoriais, que se faz componente a componente.

Passo 2

Subtraindo componente a componente, obtemos
vec F(t)-vec G(t) =l(e^-1/t^2-(-pi)r),vec i +l(cos t-1+cos ttr),vec j +t^3,vec k,
ou seja
vec F(t)-vec G(t) =l(e^-1/t^2+pir),vec i +l(cos t-tfrac1+cos ttr),vec j +t^3,vec k

Passo 3

Analisando a componente em vec i:
limtto0l(e^-1/t^2+pir) =underbracelimtto0e^-1/t^2=0+pi =pi

Passo 4

Analisando a componente em vec k:
limtto0t^3=0

Passo 5

Analisando a componente em vec j:
cos t-1+cos tt sim 1-2t quando tto0,
pois cos tto1 e 1+cos tto2. Logo
  • Se tto0^+, 2tto+infty e a expressão vai a -infty.
  • Se tto0^-, 2tto-infty e a expressão vai a +infty.
    Não há valor finito único nem acordo entre os lados, logo essa componente diverge.

Passo 6

Como a componente em vec j não tem limite finito (e ainda não coincidem as vizinhanças pelos lados), o limite vetorial não existe.

Resposta

O limite limtto0(vec F(t)-vec G(t)) não existe.

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