Calcule os limites caso existam
lim t 0(sin 3 tt i+tan 2 t3 t j+ln (1+t) k)

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando tto0, do vetor
sin3tt,i ;+;tan2t3t,j;+;ln(1+t),k
Aqui usamos que o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes, então vamos calcular cada componente separadamente, aplicando limites clássicos como
limxto0sin xx=1,
limxto0tan xx=1
e limxto0ln(1+x)=0.

Passo 2

Primeira componente: limtto0sin3tt.
Fazendo u=3t, temos
sin3tt =sin uucdotut
e, quando tto0, uto0. Então
limtto0sin3tt =limuto0sin uucdotlimtto03tt =1cdot3 =3

Passo 3

Segunda componente: limtto0tan2t3t.
Analogamente, colocando v=2t,
tan2t3t =tan vvcdotv3t
e, para tto0, vto0. Logo
limtto0tan2t3t =limvto0tan vvcdotlimtto02t3t =1cdot23 =23

Passo 4

Terceira componente: limtto0ln(1+t).
Sabemos pelo desenvolvimento de série ou pela definição de logaritmo que
limtto0ln(1+t)=0

Passo 5

Juntando os resultados das três componentes, o limite do vetor é
3,i ;+;23,j;+;0,k

Resposta

3,i+23,j

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