Dê um exemplo de resolução utilizando LHôspital para cada uma das indeterminações do item (a).

Passo 1

Vamos resolver uma indeterminação do tipo 00 usando a Regra de L’Hôpital. Quando um limite resulta em 00, podemos aplicar essa regra para encontrar o valor do limite.

Passo 2

Considere o limite limx to 0 sin xx. Substituindo x = 0, obtemos 00, que é uma indeterminação.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
limx to 0 cos x1

Passo 4

Agora, avaliamos o limite:
cos 01 = 11 = 1

Passo 5

Agora, vamos resolver uma indeterminação do tipo inftyinfty usando a Regra de L’Hôpital. Quando um limite resulta em inftyinfty, também podemos aplicar essa regra para encontrar o valor do limite.

Passo 6

Considere o limite limx to infty e^xx. Substituindo x to infty, obtemos inftyinfty, que é uma indeterminação.

Passo 7

Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
limx to infty e^x1

Passo 8

Agora, avaliamos o limite:
limx to infty e^x = infty

Passo 9

Vamos resolver uma indeterminação do tipo 0 times infty transformando-a em uma fração para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 10

Considere o limite limx to 0^+ x ln x. Substituindo x to 0^+, temos 0 times (-infty), que é uma indeterminação.

Passo 11

Reescrevemos a expressão como uma fração:
limx to 0^+ ln x1x
Agora, temos a forma -inftyinfty, que se enquadra na Regra de L’Hôpital.

Passo 12

Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
limx to 0^+ 1x-1x^2 = limx to 0^+ -x = 0

Passo 13

Vamos resolver uma indeterminação do tipo infty - infty transformando-a em uma fração para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 14

Considere o limite limx to infty (raizx^2 + x - x). Substituindo x to infty, temos infty - infty, que é uma indeterminação.

Passo 15

Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:
limx to infty (raizx^2 + x - x)(raizx^2 + x + x)raizx^2 + x + x = limx to infty xraizx^2 + x + x
Agora, temos a forma inftyinfty, adequada para a Regra de L’Hôpital.

Passo 16

Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
limx to infty 1x + 0.5raizx^2 + x + 1 = limx to infty 11 + 1 = 12

Passo 17

Vamos resolver uma indeterminação do tipo 1^infty usando logaritmos para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 18

Considere o limite limx to 0 (1 + x)^1x. Substituindo x to 0, obtemos 1^infty, que é uma indeterminação.

Passo 19

Tomamos o logaritmo natural do limite:
ln L = limx to 0 ln(1 + x)x
Agora, temos a forma 00, adequada para a Regra de L’Hôpital.

Passo 20

Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
ln L = limx to 0 11 + x1 = 1
Então, L = e^1 = e.

Passo 21

Vamos resolver uma indeterminação do tipo 0^0 usando logaritmos para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 22

Considere o limite limx to 0^+ x^x. Substituindo x to 0^+, obtemos 0^0, que é uma indeterminação.

Passo 23

Tomamos o logaritmo natural do limite:
ln L = limx to 0^+ x ln x
Como vimos anteriormente, esse limite resulta em 0.

Passo 24

Então, L = e^0 = 1.

Passo 25

Vamos resolver uma indeterminação do tipo infty^0 usando logaritmos para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 26

Considere o limite limx to infty (1 + 1x)^x. Substituindo x to infty, obtemos 1^infty, que já resolvemos, mas para variação, considere limx to infty (2 - xx)^x = 1^x = 1.
No entanto, para infty^0, considere:
limx to infty (1 + 1x)^1x
Aqui, a base tende a 1 e o expoente a 0, formando 1^0.

Passo 27

Tomamos o logaritmo natural do limite:
ln L = limx to infty ln(1 + 1x)x
Esta é uma forma 0infty, que tende a 0.

Passo 28

Então, L = e^0 = 1.

Resposta

O limite é 1.

Exercícios relacionados