Dê um exemplo de resolução utilizando LHôspital para cada uma das indeterminações do item (a).
Passo 1
Vamos resolver uma indeterminação do tipo
usando a Regra de L’Hôpital. Quando um limite resulta em
, podemos aplicar essa regra para encontrar o valor do limite.
Passo 2
Considere o limite
. Substituindo
, obtemos
, que é uma indeterminação.
Passo 3
Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
Passo 4
Agora, avaliamos o limite:
Passo 5
Agora, vamos resolver uma indeterminação do tipo
usando a Regra de L’Hôpital. Quando um limite resulta em
, também podemos aplicar essa regra para encontrar o valor do limite.
Passo 6
Considere o limite
. Substituindo
, obtemos
, que é uma indeterminação.
Passo 7
Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
Passo 8
Agora, avaliamos o limite:
Passo 9
Vamos resolver uma indeterminação do tipo
transformando-a em uma fração para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 10
Considere o limite
. Substituindo
, temos
, que é uma indeterminação.
Passo 11
Reescrevemos a expressão como uma fração:
Agora, temos a forma
, que se enquadra na Regra de L’Hôpital.
Passo 12
Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
Passo 13
Vamos resolver uma indeterminação do tipo
transformando-a em uma fração para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 14
Considere o limite
. Substituindo
, temos
, que é uma indeterminação.
Passo 15
Multiplicamos e dividimos pela expressão conjugada:
Agora, temos a forma
, adequada para a Regra de L’Hôpital.
Passo 16
Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
Passo 17
Vamos resolver uma indeterminação do tipo
usando logaritmos para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 18
Considere o limite
. Substituindo
, obtemos
, que é uma indeterminação.
Passo 19
Tomamos o logaritmo natural do limite:
Agora, temos a forma
, adequada para a Regra de L’Hôpital.
Passo 20
Aplicamos a Regra de L’Hôpital derivando o numerador e o denominador:
Então,
.
Passo 21
Vamos resolver uma indeterminação do tipo
usando logaritmos para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 22
Considere o limite
. Substituindo
, obtemos
, que é uma indeterminação.
Passo 23
Tomamos o logaritmo natural do limite:
Como vimos anteriormente, esse limite resulta em
.
Passo 24
Então,
.
Passo 25
Vamos resolver uma indeterminação do tipo
usando logaritmos para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 26
Considere o limite
. Substituindo
, obtemos
, que já resolvemos, mas para variação, considere
.
No entanto, para
, considere:
Aqui, a base tende a 1 e o expoente a 0, formando
.
Passo 27
Tomamos o logaritmo natural do limite:
Esta é uma forma
, que tende a 0.
Passo 28
Então,
.
Resposta
O limite é 1.