Calcule os limites, caso existam, caso contrário, justifique por que o limite não existe.
lim x 2 x^3-3 x^2+x+2x^3-x-6

Passo 1

O enunciado pede
limxto2x^3-3x^2+x+2x^3-x-6,
que é um limite de função racional. Para resolver, vamos verificar se há forma indeterminada e, em caso afirmativo, fatorar numerador e denominador para simplificar a expressão antes de calcular o limite.

Passo 2

Substituindo x=2 diretamente, o numerador fica
2^3-3cdot2^2+2+2 = 8 -12 +2 +2 = 0
e o denominador fica
2^3-2-6 = 8 -2 -6 = 0
Logo temos a forma indeterminada tfrac00.

Passo 3

Precisamos fatorar ambos. Para o numerador x^3-3x^2+x+2, como x=2 é raiz, dividimos por (x-2) e obtemos
x^3-3x^2+x+2 = (x-2)(x^2-x-1)
Para o denominador x^3-x-6, também x=2 é raiz, então
x^3-x-6 = (x-2)(x^2+2x+3)

Passo 4

Cancelando o fator comum (x-2), a expressão para xneq2 fica
x^2-x-1x^2+2x+3
Agora podemos calcular o limite por substituição direta em x=2:
o numerador vale
2^2-2-1 = 4 -2 -1 = 1,
e o denominador vale
2^2+2cdot2+3 = 4 +4 +3 = 11
Portanto
limxto2x^3-3x^2+x+2x^3-x-6 = 111

Resposta

111

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