Considere a função com lei de formação dada por
f(x)=cc x^3-2 x^2-5 x+6x^2+x-2, & x in R-1,-2 f(x)=-2, & x=1 f(x)=0, x=-2
(b) f é contínua? Em caso negativo, determine os pontos de descontinuidade de f.

Passo 1

O enunciado define
f(x)= x^3-2x^2-5x+6x^2+x-2,&xinRsetminus1,-2, -2,&x=1, 0,&x=-2,
e pede para verificar a continuidade de f. Os únicos pontos onde a definição muda ou o denominador anula são x=1 e x=-2. Para testar continuidade nesses pontos, vamos calcular os limites laterais (neste caso o limite geral) da parte racional quando xto1 e xto-2, e comparar com os valores atribuídos a f(1) e f(-2).

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador da parte racional:
x^3-2x^2-5x+6 = (x-1)(x-3)(x+2), x^2+x-2 = (x-1)(x+2)
Para xneq1,-2 temos
x^3-2x^2-5x+6x^2+x-2 = (x-1)(x-3)(x+2)(x-1)(x+2) = x-3
Logo para x próximo de 1 ou de -2, f(x) tende a x-3.

Passo 3

Calculamos os limites:
limxto1f(x)=limxto1(x-3)=1-3=-2, limxto-2f(x)=limxto-2(x-3)=-2-3=-5
Como f(1)=-2, o valor atribuído coincide com limxto1f(x), logo f é contínua em x=1. Como f(-2)=0neq-5=limxto-2f(x), há descontinuidade em x=-2.

Resposta

A função f não é contínua em x=-2 (nos demais pontos, inclusive x=1, é contínua).

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