Calcule os limites, caso existam, caso contrário, justifique por que o limite não existe.
lim x +infty[ln (1x)+x^5-2 x^2+3x^2-9 x+1]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+inftyl[lnl(tfrac1xr)+x^5-2x^2+3x^2-9x+1r]
O conteúdo envolve limites no infinito e comparação de crescimento entre funções (logaritmo versus polinômio). Vamos estudar cada parcela separadamente e depois comparar.

Passo 2

Analisando a parte logarítmica, temos
lnl(tfrac1xr)= -ln x
Como ln xto+infty quando xto+infty, segue que
lnl(tfrac1xr)to -infty

Passo 3

Agora a parte racional
x^5-2x^2+3x^2-9x+1
O grau do numerador é 5 e do denominador é 2, logo para x grande ela se comporta como x^5-2=x^3. Formalmente, podemos escrever
x^5-2x^2+3x^2-9x+1 = x^3,1-2x^-3+3x^-51-9x^-1+x^-2 longrightarrow x^3cdot 1 = x^3 (xto+infty),
portanto
x^5-2x^2+3x^2-9x+1to +infty

Passo 4

Temos duas parcelas:
lnl(tfrac1xr)to -infty e x^5-2x^2+3x^2-9x+1to +infty
Para ver qual domina, comparamos a taxa de crescimento de ln x com a de x^3. Sabe-se que
limxto+inftyln xx^3=0,
ou seja, x^3 cresce muito mais rápido que ln x.

Passo 5

Como o termo racional (que tende a +infty como x^3) domina em módulo o termo -ln x, a soma diverge para +infty.

Resposta

+infty

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