Responda verdadeiro (V) ou falso (F):
( ) Seja
dada por
. Então,
não é contínua.
( ) Se
não pertence ao domínio de uma função
, então
não existe.
( ) Se
é contínua,
e
, então existe
tal que
.
( ) Sejam
duas funções contínuas. Se
e
existem, então
existe.
( ) Sejam
. Se
, então
existe.
( ) Considere as funções
. Se, dado
e
existem e
para todo
. Então
existe para todo
.
( ) Seja
( ) Se
( ) Se
( ) Sejam
( ) Sejam
( ) Considere as funções
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos uma lista de afirmações relacionadas à continuidade de funções e limites. Nosso objetivo é dizer se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de análise, como continuidade de funções, limites e o Teorema do Valor Intermediário.
Passo 2
Afirmação 1:
( ) Sejadada por . Então, não é contínua.
Análise:
A função está definida para todos os números reais exceto
. A continuidade de uma função em seu domínio significa que, para todo ponto no domínio, o limite da função quando
se aproxima desse ponto existe e é igual ao valor da função naquele ponto.
A função
A função
é contínua em todo o seu domínio
. O que não está definida é o ponto
, mas isso não afeta a continuidade dentro do domínio definido.
Resposta: Falso (F)
Passo 3
Afirmação 2:
( ) Senão pertence ao domínio de uma função , então não existe.
Análise:
Nem sempre se o ponto não está no domínio de
, o limite quando
se aproxima de
não existir. Por exemplo, considere a função
definida para
. O limite quando
se aproxima de 0 existe e é igual a 1, mesmo
não estando definida.
Nem sempre se o ponto
Resposta: Falso (F)
Passo 4
Afirmação 3:
( ) Seé contínua, e , então existe tal que .
Análise:
Essa é uma aplicação direta do Teorema do Valor Intermediário. Se uma função é contínua em um intervalo fechado e assume valores de sinais opostos nos extremos do intervalo, então ela deve assumir todo valor entre esses dois pontos. Como e
, a função deve passar por zero em algum ponto dentro desse intervalo.
Essa é uma aplicação direta do Teorema do Valor Intermediário. Se uma função é contínua em um intervalo fechado e assume valores de sinais opostos nos extremos do intervalo, então ela deve assumir todo valor entre esses dois pontos. Como
Resposta: Verdadeiro (V)
Passo 5
Afirmação 4:
( ) Sejamduas funções contínuas. Se e existem, então existe.
Análise:
Para que o limite de exista, além dos limites de
e
existirem, é necessário que
não se aproxime de zero. Se
, então o limite de
pode não existir ou ser infinito.
Para que o limite de
Resposta: Falso (F)
Passo 6
Afirmação 5:
( ) Sejam. Se , então existe.
Análise:
Mesmo que , o limite de
depende do comportamento de
. Se
estiver limitado perto de
, então o limite do produto existe e será 0. Porém, se
crescer sem limites (tornar-se infinito), o limite do produto pode não existir.
Mesmo que
Resposta: Falso (F)
Passo 7
Afirmação 6:
( ) Considere as funções. Se, dado , e existem e para todo . Então existe para todo .
Análise:
Isso é uma aplicação do Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto). Se uma função está sempre entre
e
, e os limites de
e
quando
se aproxima de
são iguais, então o limite de
também existe e é igual a esse valor comum.
Isso é uma aplicação do Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto). Se uma função
Resposta: Verdadeiro (V)
Resposta
- F
- F
- V
- F
- F
- V