Responda verdadeiro (V) ou falso (F):
( ) Seja f: R-0 R dada por f(x)=1x. Então, f não é contínua.
( ) Se x0 não pertence ao domínio de uma função f, então lim x x0 f(x) não existe.
( ) Se f é contínua, f(1)=-1 e f(2)=1, então existe x0 in[1,2] tal que f(x0)=0.
( ) Sejam f, g: R R duas funções contínuas. Se lim x 1 f(x) e lim x 1 g(x) existem, então lim x 1 f(x)g(x) existe.
( ) Sejam f, g: R R. Se lim x x0 f(x)=0, então lim x x0 f(x) cdot g(x) existe.
( ) Considere as funções f, g, h: R R. Se, dado x0 in R, lim x x0 f(x) e lim x x0 g(x) existem e f(x) <= h(x) <= g(x) para todo x in R. Então lim x a h(x) existe para todo a in R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos uma lista de afirmações relacionadas à continuidade de funções e limites. Nosso objetivo é dizer se cada uma delas é verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de análise, como continuidade de funções, limites e o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 2

Afirmação 1:
( ) Seja f: R-0 R dada por f(x)=1x . Então, f não é contínua.
Análise:
A função f(x) = 1x está definida para todos os números reais exceto x = 0 . A continuidade de uma função em seu domínio significa que, para todo ponto no domínio, o limite da função quando x se aproxima desse ponto existe e é igual ao valor da função naquele ponto.
A função f(x) = 1x é contínua em todo o seu domínio R-0 . O que não está definida é o ponto x = 0 , mas isso não afeta a continuidade dentro do domínio definido.
Resposta: Falso (F)

Passo 3

Afirmação 2:
( ) Se x0 não pertence ao domínio de uma função f , então lim x x0 f(x) não existe.
Análise:
Nem sempre se o ponto x0 não está no domínio de f , o limite quando x se aproxima de x0 não existir. Por exemplo, considere a função f(x) = sin(x)x definida para x neq 0 . O limite quando x se aproxima de 0 existe e é igual a 1, mesmo f(0) não estando definida.
Resposta: Falso (F)

Passo 4

Afirmação 3:
( ) Se f é contínua, f(1)=-1 e f(2)=1 , então existe x0 in[1,2] tal que f(x0)=0 .
Análise:
Essa é uma aplicação direta do Teorema do Valor Intermediário. Se uma função é contínua em um intervalo fechado e assume valores de sinais opostos nos extremos do intervalo, então ela deve assumir todo valor entre esses dois pontos. Como f(1) = -1 e f(2) = 1 , a função deve passar por zero em algum ponto dentro desse intervalo.
Resposta: Verdadeiro (V)

Passo 5

Afirmação 4:
( ) Sejam f, g: R R duas funções contínuas. Se lim x 1 f(x) e lim x 1 g(x) existem, então lim x 1 f(x)g(x) existe.
Análise:
Para que o limite de f(x)g(x) exista, além dos limites de f(x) e g(x) existirem, é necessário que g(x) não se aproxime de zero. Se lim x 1 g(x) = 0 , então o limite de f(x)g(x) pode não existir ou ser infinito.
Resposta: Falso (F)

Passo 6

Afirmação 5:
( ) Sejam f, g: R R . Se lim x x0 f(x)=0 , então lim x x0 f(x) cdot g(x) existe.
Análise:
Mesmo que lim x x0 f(x) = 0 , o limite de f(x) cdot g(x) depende do comportamento de g(x) . Se g(x) estiver limitado perto de x0 , então o limite do produto existe e será 0. Porém, se g(x) crescer sem limites (tornar-se infinito), o limite do produto pode não existir.
Resposta: Falso (F)

Passo 7

Afirmação 6:
( ) Considere as funções f, g, h: R R . Se, dado x0 in R , lim x x0 f(x) e lim x x0 g(x) existem e f(x) <= h(x) <= g(x) para todo x in R . Então lim x a h(x) existe para todo a in R .
Análise:
Isso é uma aplicação do Teorema do Sanduíche (ou Teorema do Confronto). Se uma função h(x) está sempre entre f(x) e g(x) , e os limites de f(x) e g(x) quando x se aproxima de a são iguais, então o limite de h(x) também existe e é igual a esse valor comum.
Resposta: Verdadeiro (V)

Resposta

  1. F
  2. F
  3. V
  4. F
  5. F
  6. V

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