Calcule os limites, caso existam, caso contrário, justifique por que o limite não existe.
lim x -3 raizx^2+6 x+9x+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -3raizx^2+6x+9x+3
Caso seja indeterminado, temos de simplificar algébrica ou geometricamente e, se necessário, estudar limites laterais usando a definição de valor absoluto que sai da raiz quadrada.

Passo 2

Observando o radicando, note que
x^2+6x+9 = (x+3)^2,
logo
raizx^2+6x+9 = raiz(x+3)^2 = |x+3|
Além disso, substituindo diretamente x=-3 daria tfrac00, então é mesmo o caso de simplificar usando valor absoluto.

Passo 3

Reescrevendo a função após simplificação, obtemos
raizx^2+6x+9x+3 = |x+3|x+3
E sabemos que
|x+3|= ;x+3,&se x+3>=0;(x>=-3), ;-,(,x+3,),&se x+3<0;(x< -3)
Logo a expressão fica
|x+3|x+3= 1,&x>-3, -1,&x<-3

Passo 4

Agora calculamos os limites laterais em x=-3:
limxto -3^+|x+3|x+3=1,
limxto -3^-|x+3|x+3=-1.

Passo 5

Como limxto -3^+=1 e limxto -3^-=-1 são diferentes, o limite em x=-3 não existe.

Resposta

O limite não existe, pois
limxto -3^-=-1neqlimxto -3^+=1.

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