Verifique se cada série converge ou diverge
\sum_{n=1}{\infty}(-1){n} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n2^nn!
O conteúdo envolvido é séries infinitas e teste da razão para convergência absoluta. Vamos usar o teste da razão sobre os termos em valor absoluto e, a partir disso, concluir sobre a convergência da série original.

Passo 2

Definimos an = (-1)^n2^nn! e consideramos os termos em valor absoluto
|an| = 2^nn!
Aplicando o teste da razão, calculamos
L = limntoinfty|an+1||an| = limntoinfty2^n+1/(n+1)!2^n/n! = limntoinfty2n+1 = 0
Como L<1, a série sum|an| converge.

Passo 3

A convergência de sum|an| significa que a série original converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência da série alternante.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n2^nn! converge absolutamente e, portanto, converge.

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