Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow-1}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites, caso existam:
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to -1}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{2}+1}\right).
    Informações dadas (explícitas na expressão):
  • A expressão é a diferença de duas frações: \dfrac{1}{x+1} e \dfrac{1}{x^{2}+1}.
  • O ponto de interesse é x=-1, onde o denominador de \dfrac{1}{x+1} se anula ( x+1=0) e o denominador de \dfrac{1}{x^{2}+1} vale 2 ( (-1)^2+1=2).

Passo 2

Observação inicial sobre cada termo:
  • A função x\mapsto \dfrac{1}{x^{2}+1} é contínua em x=-1 porque o denominador \,x^{2}+1 vale 2\neq0. Então
\frac{1}{x^{2}+1}\xrightarrow[x\to-1]{} \frac{1}{2}.
  • A função x\mapsto \dfrac{1}{x+1} tem problema em x=-1: o denominador tende a zero. Isso normalmente gera um limite infinito (uma assimptota vertical). Para decidir o sinal do infinito precisamos olhar os limites laterais (pela esquerda e pela direita).

Passo 3

Para ver o comportamento global é útil colocar as duas frações numa só expressão (mesmo denominador). Fazendo o mínimo comum denominador:
\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{2}+1} = \frac{x^{2}+1-(x+1)}{(x+1)(x^{2}+1)}.
Simplificando o numerador:
x^{2}+1-(x+1)=x^{2}-x = x(x-1).
Portanto a expressão simplificada é
\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{2}+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x^{2}+1)}.

Passo 4

Análise do sinal e do comportamento quando x se aproxima de -1:
  • Avaliando fatores em x=-1:
    • x(x-1)\big|_{x=-1}=(-1)(-2)=2, ou seja, o numerador tende para 2>0.
    • x^{2}+1\big|_{x=-1}=2>0.
  • Assim, perto de x=-1 a expressão tem sinal e ordem dominados pelo fator (x+1) no denominador. Em termos heurísticos,
\frac{x(x-1)}{(x+1)(x^{2}+1)}\approx \frac{2}{(x+1)\cdot 2}=\frac{1}{x+1}
próximo de x=-1 (o que confirma que o termo singular vem de \dfrac{1}{x+1}).

Passo 5

Cálculo dos limites laterais usando o comportamento acima:
  • Para x\to -1^{+}: temos x+1>0 e pequeno, e numerador/parte não nula é positivo, logo a fração tende a +\infty. Formalmente,
\lim_{x\to -1^{+}}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{2}+1}\right)=+\infty.
  • Para x\to -1^{-}: temos x+1<0 e pequeno, numerador/parte não nula é positivo, logo a fração tende a -\infty. Formalmente,
\lim_{x\to -1^{-}}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{2}+1}\right)=-\infty.

Passo 6

Conclusão para o limite bilateral:
  • Como os limites laterais existem mas são diferentes ( +\infty e -\infty), o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to -1}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{2}+1}\right) não existe (não há um único valor ou infinito com o mesmo sinal vindo dos dois lados).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -1^{-}}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{2}+1}\right)=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to -1^{+}}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{2}+1}\right)=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to -1}\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x^{2}+1}\right)=\text{\( \text{não existe}})

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