Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede o limite à direita
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A aproximação é por valores de
maiores que (isso é o que indica ). - A expressão é
. - Ao nos aproximarmos de
pela direita teremos , portanto e tende a por valores negativos. - O objetivo é determinar se o limite existe finito, é
ou , ou não existe de forma mais complicada.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento qualitativo das partes da expressão ao aproximar
de
pela direita.
- Numerador:
. Quando , tem-se . Ou seja, o numerador tende para (positivo). - Denominador:
. Como para temos , e ao aproximar esse valor tende a por negativos, a potência cúbica de um número negativo pequeno continua sendo negativa e muito pequena em módulo. Então o denominador tende a com sinal negativo.
Com isso já há uma forte indicação: numerador tende a
e denominador tende a
por negativos, então a fração deve ir para
. Para ser didático e rigoroso, vamos fazer uma substituição que torne a análise quantitativa mais clara.
Passo 3
Faço a substituição
. Como
, temos
(pequeno e positivo). Reescrevendo a expressão em função de
:
Portanto
Passo 4
Calculo a potência e simplifico:
logo
Agora a variável que vai a zero é
. Observe:
- O fator
tende para quando . - O fator
tende para , ou seja, positivo e muito pequeno, então .
Portanto o quociente, e com o sinal negativo exterior isso implica que a expressão tende para .
Passo 5
Se quiser uma justificativa por desigualdade (para tornar formal que vai para
): escolha um intervalo pequeno, por exemplo
. Nesse intervalo tem-se
. Então
Como
quando
, o lado direito tende para
. Assim a expressão original também tende para
. Isso conclui a demonstração rigorosa do comportamento divergente negativo.
Passo 6
Conclusão: ao aproximar
de
pela direita, a expressão tende a
. Mantém-se o sinal negativo porque o denominador cúbico é negativo para
, enquanto o numerador tende a um número positivo.