Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2-x}{(1-x)^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite à direita
\lim_{x\to1^{+}} \frac{2-x}{(1-x)^{3}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A aproximação é por valores de x maiores que 1 (isso é o que indica 1^{+}).
  • A expressão é \dfrac{2-x}{(1-x)^{3}}.
  • Ao nos aproximarmos de 1 pela direita teremos x>1, portanto 1-x<0 e tende a 0 por valores negativos.
  • O objetivo é determinar se o limite existe finito, é +\infty ou -\infty, ou não existe de forma mais complicada.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento qualitativo das partes da expressão ao aproximar x de 1 pela direita.
  • Numerador: \,2-x. Quando x\to1^{+}, tem-se \,2-x\to2-1=1. Ou seja, o numerador tende para 1 (positivo).
  • Denominador: \,(1-x)^{3}. Como para x>1 temos 1-x<0, e ao aproximar 1 esse valor tende a 0 por negativos, a potência cúbica de um número negativo pequeno continua sendo negativa e muito pequena em módulo. Então o denominador tende a 0 com sinal negativo.
Com isso já há uma forte indicação: numerador tende a 1>0 e denominador tende a 0 por negativos, então a fração deve ir para -\infty. Para ser didático e rigoroso, vamos fazer uma substituição que torne a análise quantitativa mais clara.

Passo 3

Faço a substituição \,h = x-1. Como x\to1^{+}, temos h\to0^{+} (pequeno e positivo). Reescrevendo a expressão em função de h:
x = 1 + h, \qquad 2-x = 2-(1+h)=1-h, \qquad 1-x = 1-(1+h) = -h.
Portanto
\frac{2-x}{(1-x)^{3}} = \frac{1-h}{(-h)^{3}}.

Passo 4

Calculo a potência e simplifico:
(-h)^{3} = -h^{3},
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\frac{1-h}{(-h)^{3}} = \frac{1-h}{-h^{3}} = -\frac{1-h}{h^{3}}.
Agora a variável que vai a zero é h\to0^{+}. Observe:
  • O fator \,1-h tende para 1 quando h\to0^{+}.
  • O fator \,h^{3} tende para 0^{+}, ou seja, positivo e muito pequeno, então \dfrac{1}{h^{3}}\to+\infty.
    Portanto o quociente \dfrac{1-h}{h^{3}}\to+\infty, e com o sinal negativo exterior isso implica que a expressão tende para -\infty.

Passo 5

Se quiser uma justificativa por desigualdade (para tornar formal que vai para -\infty): escolha um intervalo pequeno, por exemplo 0<h<\tfrac{1}{2}. Nesse intervalo tem-se 1-h>\tfrac{1}{2}. Então
-\frac{1-h}{h^{3}} < -\frac{1/2}{h^{3}}.
Como \dfrac{1}{h^{3}}\to+\infty quando h\to0^{+}, o lado direito tende para -\infty. Assim a expressão original também tende para -\infty. Isso conclui a demonstração rigorosa do comportamento divergente negativo.

Passo 6

Conclusão: ao aproximar x de 1 pela direita, a expressão tende a -\infty. Mantém-se o sinal negativo porque o denominador cúbico é negativo para x>1, enquanto o numerador tende a um número positivo.

Resposta

-\infty

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