Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado pede e o que temos: calcular o limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A variável
tende para . - A expressão é a diferença de duas raízes quadradas:
e .
O enunciado pede o valor desse limite, caso ele exista.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem resolver ainda): quando temos diferença entre expressões com raízes quadradas que se tornam grandes, a diferença pode ser pequena e indeterminada. Um truque clássico é multiplicar e dividir pela conjugada da diferença, isto é, por
. Isso usa a identidade
que elimina as raízes no numerador e deixa uma expressão mais simples para analisar o limite. Vou usar esse método porque é direto e exige apenas operações algébricas e limites básicos.
Passo 3
Aplicando o truque da conjugada: multiplico a expressão por
. Então
Pelo produto notável, o numerador fica
Logo a expressão equivalente é
Passo 4
Preparar para tomar o limite quando
. Note que, para
suficientemente grande,
, então posso dividir numerador e denominador por
sem trocar o sinal da desigualdade. Faço a divisão por
:
Simplifico cada termo:
Passo 5
Calcular os limites de cada parte conforme
:
Pelo teorema do quociente (limites dos numerador e denominador), o limite da fração é o quociente dos limites (o denominador tende a
, diferente de zero), portanto
Passo 6
Interpretação final e verificação rápida: a diferença entre as raízes tende para um número finito e negativo, o que faz sentido porque
é ligeiramente maior que
para
grande, então a diferença é negativa e se estabiliza em
.