Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x}\right)

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e o que temos: calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão é a diferença de duas raízes quadradas: \sqrt{x^{2}+1} e \sqrt{x^{2}+x}.
    O enunciado pede o valor desse limite, caso ele exista.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem resolver ainda): quando temos diferença entre expressões com raízes quadradas que se tornam grandes, a diferença pode ser pequena e indeterminada. Um truque clássico é multiplicar e dividir pela conjugada da diferença, isto é, por
\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}+x}. Isso usa a identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2},
que elimina as raízes no numerador e deixa uma expressão mais simples para analisar o limite. Vou usar esse método porque é direto e exige apenas operações algébricas e limites básicos.

Passo 3

Aplicando o truque da conjugada: multiplico a expressão por
\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}+x}}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}+x}}. Então
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x}\big)\big(\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}+x}\big)} {\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}+x}}.
Pelo produto notável, o numerador fica
(\sqrt{x^{2}+1})^{2}-(\sqrt{x^{2}+x})^{2} =(x^{2}+1)-(x^{2}+x)=1-x.
Logo a expressão equivalente é
\sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}+x} = \frac{1-x}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}+x}}.

Passo 4

Preparar para tomar o limite quando x\to+\infty. Note que, para x suficientemente grande, x>0, então posso dividir numerador e denominador por x sem trocar o sinal da desigualdade. Faço a divisão por x:
\frac{1-x}{\sqrt{x^{2}+1}+\sqrt{x^{2}+x}} = \frac{\dfrac{1-x}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+x}}{x}}.
Simplifico cada termo:
\dfrac{1-x}{x}=\dfrac{1}{x}-1,
\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}, \qquad \dfrac{\sqrt{x^{2}+x}}{x}=\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}.

Passo 5

Calcular os limites de cada parte conforme x\to+\infty:
\lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{x}-1\right)=0-1=-1,
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}=\sqrt{1+0}=1,
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\dfrac{1}{x}}=\sqrt{1+0}=1.
Pelo teorema do quociente (limites dos numerador e denominador), o limite da fração é o quociente dos limites (o denominador tende a 1+1=2, diferente de zero), portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{1-x}{x}}{\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}+\dfrac{\sqrt{x^{2}+x}}{x}} = \frac{-1}{1+1}=\frac{-1}{2}.

Passo 6

Interpretação final e verificação rápida: a diferença entre as raízes tende para um número finito e negativo, o que faz sentido porque \sqrt{x^{2}+x} é ligeiramente maior que \sqrt{x^{2}+1} para x grande, então a diferença é negativa e se estabiliza em -\tfrac{1}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados