Verfique se as funções dadas são contínuas no(s) ponto(s) x_{0} dado(s).
f(x)=\left\{\begin{array}{rll}\frac{x^{2}-9}{x-3}, & \text { se } & x \neq 3 \\\\ 5, & \text { se } & x=3\end{array}\right. em x_{0}=3.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}-9}{x-3}, & \text{se } x\neq 3,\\[6pt] 5, & \text{se } x=3, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua no ponto x_{0}=3.
Informações relevantes que temos:
  • A expressão para x\neq 3 é \dfrac{x^{2}-9}{x-3}.
  • O valor da função no ponto x=3 é f(3)=5.
  • A pergunta é: a função é contínua em x_{0}=3?]

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (passo-a-passo didático):
Uma função f é contínua em x_{0} se e somente se as três condições seguintes forem verdadeiras:
  1. f(x_{0}) está definida;
  2. \displaystyle\lim_{x\to x_{0}} f(x) existe;
  3. \displaystyle\lim_{x\to x_{0}} f(x)=f(x_{0}).
Aqui já sabemos que a condição 1 ocorre porque f(3)=5 está definida. Logo precisamos:
  • calcular \displaystyle\lim_{x\to 3} f(x),
  • comparar esse limite com f(3)=5.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}. Primeiro simplificar a expressão para x\neq 3:
x^{2}-9=(x-3)(x+3),
portanto, para x\neq 3,
\frac{x^{2}-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3.
Assim, para todo x próximo de 3 (mas diferente de 3) valemos por x+3. Como x+3 é um polinômio (função contínua), o limite ao aproximar x de 3 é simplesmente o valor obtido substituindo x=3:
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=3+3=6.

Passo 4

Aplicar a definição de continuidade: já temos
\lim_{x\to 3}f(x)=6 \qquad\text{e}\qquad f(3)=5.
Como 6\neq 5, a condição 3 da definição de continuidade falha. Portanto f não é contínua em x_{0}=3.
Explicação intuitiva e dica de prova: a função tem uma descontinuidade removível em x=3 — isto é, o limite existe ( 6) mas o valor da função no ponto é diferente ( 5). Se definíssemos f(3)=6 em vez de 5, a função ficaria contínua em 3.

Resposta

A função não é contínua em x_{0}=3 (porque \lim_{x\to 3}f(x)=6 e f(3)=5, portanto os valores são diferentes).

Exercícios relacionados