Determinar:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
se aproxima de
:
Informações importantes dadas pelo enunciado:
- A expressão dentro do limite é
. - O ponto de aproximação é
. - Observação útil: para
o denominador vale zero, então a expressão não está definida em . Ainda assim o limite pode existir — isso é algo que vamos verificar.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão algébrica antes de qualquer avaliação do limite. Note que
Para
podemos cancelar o fator comum
no numerador e no denominador, obtendo
Portanto, para
próximo de
(mas diferente de
) a expressão original é igual a
Comentário didático rápido: essa simplificação remove uma descontinuidade removível — a função original não está definida em
por causa do cancelamento, mas a expressão simplificada mostra como o comportamento se aproxima de um valor quando
.
Passo 3
Agora avaliamos o limite da forma simplificada. Considere as duas funções:
-
, que é contínua em e tem valor . -
, que é contínua em e tem valor .
Quando a base
é positiva (aqui para
perto de
,
, logo
) e
e
são contínuas, a função composta
é contínua no ponto, então o limite é obtido por substituição direta. Assim
Passo 4
Para quem gosta de um argumento alternativo (mais algébrico/rigoroso), use logarithmo natural. Defina
Tomando logaritmo,
Como
e
quando
, pelo teorema do limite do produto
Então, exponenciando,
Essa via confirma o resultado anterior.