Determinar:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x-1}{x^{2}-1}\right)^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x se aproxima de 1:
\lim_{x\to 1}\left(\frac{x-1}{x^{2}-1}\right)^{x+1}.
Informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão dentro do limite é \left(\dfrac{x-1}{x^{2}-1}\right)^{x+1}.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
  • Observação útil: para x=1 o denominador x^{2}-1 vale zero, então a expressão não está definida em x=1. Ainda assim o limite pode existir — isso é algo que vamos verificar.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão algébrica antes de qualquer avaliação do limite. Note que
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Para x\neq 1 podemos cancelar o fator comum x-1 no numerador e no denominador, obtendo
\frac{x-1}{x^{2}-1}=\frac{x-1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x+1}\qquad (x\neq 1).
Portanto, para x próximo de 1 (mas diferente de 1) a expressão original é igual a
\left(\frac{1}{x+1}\right)^{x+1}.
Comentário didático rápido: essa simplificação remove uma descontinuidade removível — a função original não está definida em x=1 por causa do cancelamento, mas a expressão simplificada mostra como o comportamento se aproxima de um valor quando x\to 1.

Passo 3

Agora avaliamos o limite da forma simplificada. Considere as duas funções:
  • f(x)=\dfrac{1}{x+1}, que é contínua em x=1 e tem valor f(1)=\dfrac{1}{2}.
  • g(x)=x+1, que é contínua em x=1 e tem valor g(1)=2.
Quando a base f(x) é positiva (aqui para x perto de 1, x+1>0, logo f(x)>0) e f e g são contínuas, a função composta f(x)^{\,g(x)} é contínua no ponto, então o limite é obtido por substituição direta. Assim
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{x+1}\right)^{x+1}=\left(\frac{1}{1+1}\right)^{1+1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Para quem gosta de um argumento alternativo (mais algébrico/rigoroso), use logarithmo natural. Defina
y(x)=\left(\frac{1}{x+1}\right)^{x+1}.
Tomando logaritmo,
\ln y(x)=(x+1)\ln\!\left(\frac{1}{x+1}\right)=-(x+1)\ln(x+1).
Como (x+1)\to 2 e \ln(x+1)\to \ln 2 quando x\to 1, pelo teorema do limite do produto
\lim_{x\to 1}\ln y(x)= -2\ln 2.
Então, exponenciando,
\lim_{x\to 1} y(x)=e^{-2\ln 2}=e^{\ln(2^{-2})}=2^{-2}=\frac{1}{4}.
Essa via confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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