Calcule os limites
\lim _{x \rightarrow-\infty} \operatorname{arcsen}\left(\frac{1}{x}\right)=

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \operatorname{arcsen}\!\left(\frac{1}{x}\right).
Informações dadas: a função envolvida é \operatorname{arcsen} aplicada ao quociente \dfrac{1}{x}, e a variável x tende a -\infty. Não há outras informações externas.

Passo 2

Primeiro vamos estudar o comportamento da parte interna \dfrac{1}{x} quando x\to -\infty. Intuitivamente, se x fica muito negativo, \dfrac{1}{x} fica muito próximo de 0, vindo do lado negativo. Em linguagem de limites:
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0.
Prova rápida (estilo \varepsilon-argumento): dado \varepsilon>0, escolha M=\dfrac{1}{\varepsilon}>0. Para todo x<-M tem-se \left|\dfrac{1}{x}-0\right|=\dfrac{1}{|x|}<\dfrac{1}{M}=\varepsilon. Logo \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to -\infty. Observação: essa convergência é pelo lado negativo, isto é, \dfrac{1}{x}\to 0^-, mas para o valor do limite numérico interessa apenas que tende a 0.

Passo 3

Agora precisamos usar uma propriedade da função \operatorname{arcsen}. A função \operatorname{arcsen} (inversa principal do seno) é contínua no ponto 0 — de fato é contínua em todo intervalo interior do seu domínio [-1,1]. Um modo intuitivo de ver isso: o seno restrito a [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] é contínuo e estritamente monotônico, portanto tem inversa contínua nesse intervalo; essa inversa é a \operatorname{arcsen}, e em particular \operatorname{arcsen}(0)=0.

Passo 4

Usando a continuidade de \operatorname{arcsen} em 0 e o resultado do Passo 2 (que \dfrac{1}{x}\to 0), aplicamos o teorema da composição de limites: se g é contínua em L e f(x)\to L, então g(f(x))\to g(L). Assim,
\lim_{x\to -\infty}\operatorname{arcsen}\!\left(\frac{1}{x}\right) = \operatorname{arcsen}\!\left(\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}\right) = \operatorname{arcsen}(0).

Passo 5

Calculemos \operatorname{arcsen}(0). Pelo significado da função inversa, \operatorname{arcsen}(0) é o número y em \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] tal que \sin y=0. Esse número é y=0. Portanto
\operatorname{arcsen}(0)=0,
e concluímos o limite pedido.

Resposta

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