Informações dadas: a função envolvida é \operatorname{arcsen} aplicada ao quociente \dfrac{1}{x}, e a variável x tende a -\infty. Não há outras informações externas.
Passo 2
Primeiro vamos estudar o comportamento da parte interna \dfrac{1}{x} quando x\to -\infty. Intuitivamente, se x fica muito negativo, \dfrac{1}{x} fica muito próximo de 0, vindo do lado negativo. Em linguagem de limites:
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0.
Prova rápida (estilo \varepsilon-argumento): dado \varepsilon>0, escolha M=\dfrac{1}{\varepsilon}>0. Para todo x<-M tem-se \left|\dfrac{1}{x}-0\right|=\dfrac{1}{|x|}<\dfrac{1}{M}=\varepsilon. Logo \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to -\infty. Observação: essa convergência é pelo lado negativo, isto é, \dfrac{1}{x}\to 0^-, mas para o valor do limite numérico interessa apenas que tende a 0.
Passo 3
Agora precisamos usar uma propriedade da função \operatorname{arcsen}. A função \operatorname{arcsen} (inversa principal do seno) é contínua no ponto 0 — de fato é contínua em todo intervalo interior do seu domínio [-1,1]. Um modo intuitivo de ver isso: o seno restrito a [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}] é contínuo e estritamente monotônico, portanto tem inversa contínua nesse intervalo; essa inversa é a \operatorname{arcsen}, e em particular \operatorname{arcsen}(0)=0.
Passo 4
Usando a continuidade de \operatorname{arcsen} em 0 e o resultado do Passo 2 (que \dfrac{1}{x}\to 0), aplicamos o teorema da composição de limites: se g é contínua em L e f(x)\to L, então g(f(x))\to g(L). Assim,
Calculemos \operatorname{arcsen}(0). Pelo significado da função inversa, \operatorname{arcsen}(0) é o número y em \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] tal que \sin y=0. Esse número é y=0. Portanto