Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 3}\left(\frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-9}\right);

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x^2-5x+6}{x^2-9}.
Este é um limite de uma função racional que, ao fazermos substituição direta, leva à forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação.

Passo 2

Testando substituição direta em x=3:
o numerador é
3^2 - 5\cdot3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0,
e o denominador é
3^2 - 9 = 9 - 9 = 0.
Portanto, obtemos a indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3),
x^2 - 9 = (x-3)(x+3).
Assim, para x\neq3,
\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-2}{x+3}.

Passo 4

Agora calculamos o limite da forma simplificada em x=3:
\lim_{x\to3}\frac{x-2}{x+3} = \frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

Exercícios relacionados