Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{3}-6 x+1}{6 x^{3}+\pi}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+\pi}.
Este é um limite de função racional no infinito, e vamos usar a teoria de comparação de graus de polinômios.

Passo 2

Como numerador e denominador são polinômios de mesmo grau (grau 3), pela regra geral de limites no infinito,
\lim_{x\to+\infty}\frac{a_{n}x^{n}+\dots}{b_{n}x^{n}+\dots} = \frac{a_{n}}{b_{n}},
onde a_{n} e b_{n} são os coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 3

Para ver isso detalhadamente, fatora­mos x^{3} no numerador e no denominador e simplificamos:
\frac{5x^{3}-6x+1}{6x^{3}+\pi} = \frac{x^{3}\Bigl(5 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\Bigr)}{x^{3}\Bigl(6 + \frac{\pi}{x^{3}}\Bigr)} = \frac{5 - \frac{6}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}}{6 + \frac{\pi}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora, quando x\to+\infty, os termos \tfrac{6}{x^{2}}, \tfrac{1}{x^{3}} e \tfrac{\pi}{x^{3}} tendem a zero. Logo a expressão acima tende a
\frac{5 - 0 + 0}{6 + 0} = \frac{5}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{6}

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