Desenhe os gráficos das curvas dadas, encontre a regiño delimitada por elas e calcule sua área:
a) y=1-2 x^{2} e y=|x|

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas
y = 1 - 2x^2
e
y = |x|
, identificar a região fechada por elas e calcular sua área. Vamos precisar de conhecimentos de gráficos de parábola, valor absoluto e de área sob curva via integral definida.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, resolvemos
1 - 2x^2 = |x|.
Fazemos dois casos:
Caso x\ge0: |x|=x, então
1 - 2x^2 = x \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + x - 1 = 0.
A equação tem raízes
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4},
logo x = \tfrac12 ou x=-1. Como exigimos x\ge0, fica x=\tfrac12.
Caso x<0: |x|=-x, então
1 - 2x^2 = -x \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - x - 1 = 0.
As raízes são
x = \frac{1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4},
isto é, x=1 ou x=-\tfrac12. Pelo caso x<0, temos x=-\tfrac12.
Portanto as interseções ocorrem em x=-\tfrac12 e x=+\tfrac12, com y=|x|=\tfrac12.

Passo 3

Entre x=-\tfrac12 e x=+\tfrac12, verifica-se que
1-2x^2 \ge |x|,
ou seja, a parábola fica acima do “V” de |x|. A área A da região é
A = \int_{-1/2}^{1/2}\bigl[(1-2x^2)-|x|\bigr]\,dx.
Como a situação é simétrica em x=0, podemos usar simetria:
A = 2\int_{0}^{1/2}\bigl[(1-2x^2)-x\bigr]\,dx.

Passo 4

Calculemos
\int_{0}^{1/2}(1 - x - 2x^2)\,dx = \Bigl[x - \tfrac{x^2}{2} - \tfrac{2x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1/2}.
Para x=\tfrac12 isso dá
\tfrac12 - \tfrac{(1/2)^2}{2} - \tfrac{2\,(1/2)^3}{3} = \tfrac12 - \tfrac{1/8}{2} - \tfrac{2/8}{3} = \tfrac12 - \tfrac1{16} - \tfrac1{12} = \tfrac{12}{24} - \tfrac{1.5}{24} - \tfrac2{24} = \tfrac7{24}.
Então
A = 2 \times \tfrac7{24} = \tfrac7{12}.

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é \displaystyle \frac{7}{12}.

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