Considere
f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} -4 x, & \text { se } & x<0 \\\\ 2 x-x^{2}, & \text { se } & 0 \leq x \leq 3 \\\\ 2 x-9, & \text { se } & x>3 \end{array}\right.
A função f definida acima é contínua em x=0 ? E em x=3 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)= \begin{cases} -4x, & x<0,\\\\ 2x - x^2, & 0\le x\le3,\\\\ 2x - 9, & x>3, \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua em x=0 e em x=3.
Para isso usamos a definição de continuidade num ponto a: \displaystyle f é contínua em a se \lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a).

Passo 2

Verificação em x=0:
  1. Limite pela esquerda: como x<0 usamos f(x)=-4x, então
\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(-4x)=0.
  1. Limite pela direita: como x>0 mas próximo de zero entramos no ramo 2x - x^2, logo
\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(2x - x^2)=0.
  1. Valor em zero: como 0\le x\le3 vale
f(0)=2\cdot0 - 0^2=0.
Portanto
\lim_{x\to0^-}f(x)=0=\lim_{x\to0^+}f(x)=f(0),
logo f é contínua em x=0.

Passo 3

Verificação em x=3:
  1. Limite pela esquerda: para x<3 usamos 2x - x^2, então
\lim_{x\to3^-}f(x)=\lim_{x\to3^-}(2x - x^2)=2\cdot3 - 3^2=-3.
  1. Limite pela direita: para x>3 usamos 2x - 9, logo
\lim_{x\to3^+}f(x)=\lim_{x\to3^+}(2x - 9)=2\cdot3 - 9=-3.
  1. Valor em três: como 0\le x\le3 vale
f(3)=2\cdot3 - 3^2=-3.
Assim
\lim_{x\to3^-}f(x)=-3=\lim_{x\to3^+}f(x)=f(3),
logo f é contínua em x=3.

Resposta

A função f é contínua em x=0 e em x=3.

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