Calcule os limites, caso existem:
lim t +infty(arctg(t), e^-2 t, ln (t)t).

Passo 1

O enunciado pede o limite, quando tto+infty, do vetor cujas componentes são arctg(t), e^-2t e dfracln(t)t. O conteúdo aqui é cálculo de limites de funções elementares: conhecemos o limite do arco-tangente no infinito, o comportamento de uma exponencial decrescente e vamos usar a regra de L’Hôpital para o quociente ln(t)/t.

Passo 2

Calculando
limtto+inftyarctg(t)
Como a função arctg(x) tende a pi/2 quando xto+infty, temos
limtto+inftyarctg(t)=pi2

Passo 3

Calculando
limtto+inftye^-2t
Aqui o expoente -2t vai a -infty, então a exponencial decai a zero:
limtto+inftye^-2t=0

Passo 4

Calculando
limtto+inftyln(t)t
Temos forma indeterminada infty/infty, então aplicamos a regra de L’Hôpital: derivando numerador e denominador em relação a t,
limtto+inftyln(t)t =limtto+inftyddt[ln(t)]ddt[t] =limtto+infty1/t1 =limtto+infty1t=0

Passo 5

Juntando as três componentes, o limite do vetor é
(limtto+inftyarctg(t),;limtto+inftye^-2t,;limtto+inftyln(t)t) =l(tfracpi2,0,0r)

Resposta

l(tfracpi2,0,0r)

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