determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por indices.
uz z x+uy y+uz z=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial parcial
uzzx + uyy + uzz = 0
Aqui queremos apenas classificar essa PDE quanto à sua ordem e verificar se ela é linear ou não.

Passo 2

A ordem de uma equação diferencial parcial é o maior número de derivadas parciais que aparece em qualquer termo.
No nosso caso os termos são ,uzzx (derivada de ordem 3), ,uyy (ordem 2) e ,uzz (ordem 2).
Logo, a ordem da PDE é 3.

Passo 3

Uma PDE é linear se cada termo for uma combinação linear da função incógnita u ou de suas derivadas, com coeficientes que dependem apenas das variáveis independentes, sem produtos ou funções não lineares de u ou de suas derivadas.
Aqui temos
uzzx + uyy + uzz = 0
que é soma de derivadas de u com coeficientes constantes. Não há termos como (uz)^2, nem u,uyy, nem funções não lineares de u.
Portanto, a equação é linear.

Resposta

A equação é de ordem 3 e é linear.

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