Calcule os limites que envolvem razões trigonométricas, utilizando o primeiro limite fundamental:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1 :
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\cos \frac{\pi x}{2}}{1-x}

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o limite \r
\lim_{x\to1}\frac{\cos\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)}{1 - x} \r
utilizando o primeiro limite fundamental \r
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável h = x - 1. Quando x \to 1, temos h \to 0. \r
Então\r
1 - x = -h \quad\text{e}\quad \cos\!\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr) = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi(1+h)}{2}\bigr) = \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2} + \tfrac{\pi h}{2}\bigr) = -\sin\!\bigl(\tfrac{\pi h}{2}\bigr). \r
Logo,\r
\frac{\cos\bigl(\tfrac{\pi x}{2}\bigr)}{1 - x} = \frac{-\sin\!\bigl(\tfrac{\pi h}{2}\bigr)}{-h} = \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\pi h}{2}\bigr)}{h}.

Passo 3

Reescrevemos\r
\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\pi h}{2}\bigr)}{h} = \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\pi h}{2}\bigr)}{\tfrac{\pi h}{2}}\;\cdot\;\frac{\pi}{2}. \r
Ao fazermos h\to0, o primeiro fator tende a 1 pelo limite fundamental, logo\r
\lim_{h\to0}\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{\pi h}{2}\bigr)}{h} = 1 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\frac{\pi}{2}

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