Calcule os limites que envolvem razões trigonométricas, utilizando o primeiro limite fundamental:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1 :
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(2 x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}
utilizando o primeiro limite fundamental das funções trigonométricas, que afirma
\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a aparecer o quociente \frac{\operatorname{sen} u}{u}. Observando que u=2x, temos:
\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x} = \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\cdot 2 = 2\cdot\frac{\operatorname{sen} u}{u}.

Passo 3

Ao tomar o limite quando x\to0, equivale a u=2x\to0. Pelo primeiro limite fundamental, \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1. Logo,
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x} = 2\cdot1 =2.

Resposta

2

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