Calcule os limites que envolvem razões trigonométricas, utilizando o primeiro limite fundamental:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1 :
\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{1-\operatorname{sen} \frac{x}{2}}{x-\pi}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x \to \pi}\frac{1-\sin\frac{x}{2}}{\,x-\pi\,}
usando o primeiro limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.
O conteúdo é choque de variáveis e uso de identidades trigonométricas para aproximar o numerador.

Passo 2

Fazemos a troca de variável h=x-\pi, de modo que h\to0 quando x\to\pi. Então
x=\pi+h \quad\Longrightarrow\quad \frac{1-\sin\frac{x}{2}}{x-\pi} =\frac{1-\sin\bigl(\tfrac{\pi+h}{2}\bigr)}{h}.

Passo 3

Usamos \sin\bigl(\tfrac{\pi+h}{2}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac\pi2+\tfrac h2\bigr) =\cos\!\tfrac{h}{2}. Logo o numerador vira
1-\cos\!\tfrac{h}{2}.
O limite fica
\lim_{h\to0}\frac{1-\cos\!\tfrac{h}{2}}{h}.

Passo 4

Aplicamos a identidade
1-\cos t = 2\sin^2\!\tfrac t2
com t=\tfrac h2. Então
1-\cos\!\tfrac{h}{2} =2\sin^2\!\bigl(\tfrac{h}{4}\bigr),
e o quociente é
\frac{2\sin^2\!\bigl(\tfrac{h}{4}\bigr)}{h} =2\;\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{4}\bigr)}{\tfrac{h}{4}}\; \frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{4}\bigr)}{\tfrac{h}{4}}\;\frac{\bigl(\tfrac{h}{4}\bigr)^2}{h}.
Como \lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1, os dois primeiros fatores tendem a 1, restando
2\cdot1\cdot1\cdot\frac{(h/4)^2}{h} =\frac{2}{16}\,h =\frac{h}{8},
que \to 0 quando h\to0.

Resposta

\lim_{x \to \pi}\frac{1-\sin\frac{x}{2}}{x-\pi}=0.

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