Calcule os limites que envolvem razões trigonométricas, utilizando o primeiro limite fundamental:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1 :
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{x \cdot \operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
L = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x \,\operatorname{sen}(x)}
usando o primeiro limite fundamental \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1. Vamos usar identidades trigonométricas para reescrever a expressão de forma a aplicar esse limite.

Passo 2

Usamos as fórmulas de ângulo metade:
1 - \cos(x) = 2\,\operatorname{sen}^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), \quad \operatorname{sen}(x) = 2\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Substituindo no numerador e denominador,
\frac{1 - \cos(x)}{x\,\operatorname{sen}(x)} = \frac{2\,\operatorname{sen}^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x \cdot \bigl[2\,\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\bigr]} = \frac{\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x\,\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 3

Agora escrevemos x = 2\cdot \frac{x}{2} para isolar a razão \operatorname{sen}(\tfrac{x}{2})/(\tfrac{x}{2}):
\frac{\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x\,\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} = \frac{\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\tfrac{x}{2}} \;\cdot\;\frac{1}{2\,\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 4

Ao fazermos x \to 0, temos \tfrac{x}{2}\to0. Assim,
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\tfrac{x}{2}} = 1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\cos\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)=1.
Logo,
L = 1 \cdot \frac{1}{2\cdot1} = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

Exercícios relacionados