Calcule os limites que envolvem razões trigonométricas, utilizando o primeiro limite fundamental:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1 :
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\operatorname{sec} (x)}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}\frac{1-\operatorname{sec}(x)}{x}
usando limites trigonométricos, em particular
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.

Passo 2

Reescrevemos \operatorname{sec}(x)=\tfrac{1}{\cos(x)} e colocamos sobre um mesmo denominador:
\frac{1-\operatorname{sec}(x)}{x} = \frac{1 - \tfrac{1}{\cos(x)}}{x} = \frac{\cos(x)-1}{x\,\cos(x)}.

Passo 3

Usamos a identidade
\cos(x)-1 = -2\,\operatorname{sen}^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),
portanto
\frac{\cos(x)-1}{x\,\cos(x)} = -2\,\frac{\operatorname{sen}^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{x\,\cos(x)} = -2\Bigl(\frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\tfrac{x}{2}}\Bigr)^2 \;\frac{\tfrac{x}{2}}{\cos(x)}.

Passo 4

Aplicando
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x/2)}{x/2}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}\frac{x/2}{\cos(x)}=0,
vemos que
\lim_{x\to0}\frac{1-\operatorname{sec}(x)}{x} = -2\cdot1^2\cdot0 = 0.

Resposta

0

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