Calcule os limites que envolvem razões trigonométricas, utilizando o primeiro limite fundamental: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1 :
)
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-\sqrt{1-\operatorname{sen} x}}{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}
e sugere usar o primeiro limite fundamental
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Para resolver, vamos eliminar as raízes no numerador por meio de racionalização.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada \sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}, obtendo
\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x} \;\times\; \frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}} = \frac{(1+\sin x)-(1-\sin x)}{x\bigl(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\bigr)}.
No numerador simplifica para 2\sin x, de modo que a expressão vira
\frac{2\sin x}{x\bigl(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\bigr)}.

Passo 3

Agora tomamos o limite x\to 0. Sabemos que \sin x/x\to1 e que \sqrt{1+\sin x}\to1, \sqrt{1-\sin x}\to1. Portanto
\lim_{x\to 0} \frac{2\sin x}{x\bigl(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\bigr)} = 2\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\;\cdot\frac{1}{1+1} = 2\cdot1\;\cdot\frac{1}{2} =1.

Resposta

O valor do limite é 1.

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