Resolva o sistema
\left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=x-2 y \\\ y^{\prime}=5 x-y \end{array}\right.
sujeito a x(0)=-1 e y(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear homogêneo de primeira ordem
\begin{cases} x' = x - 2y,\\\ y' = 5x - y, \end{cases}
com condições iniciais x(0)=-1 e y(0)=2. O plano é eliminar y e obter uma equação de segunda ordem só em x, resolver essa EDO, e então recuperar y.

Passo 2

Da primeira equação isolamos y:
x' = x - 2y \quad\Longrightarrow\quad 2y = x - x' \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x - x'}{2}.
Agora derivamos em relação a t:
y' = \frac{x' - x''}{2}.
Mas pelo sistema também vale
y' = 5x - y = 5x - \frac{x - x'}{2}.
Igualando as duas expressões de y' e multiplicando por 2, obtemos
x' - x'' = 10x - (x - x') = 9x + x' \quad\Longrightarrow\quad -\,x'' = 9x \quad\Longrightarrow\quad x'' + 9x = 0.

Passo 3

A EDO
x'' + 9x = 0
é harmônica com frequência 3. A solução geral é
x(t) = A\cos(3t) + B\sin(3t),
e sua derivada é
x'(t) = -3A\sin(3t) + 3B\cos(3t).

Passo 4

Impondo as condições iniciais em t=0:
x(0)=A = -1,
e
x'(0) = 3B = x(0)-2y(0) = -1 - 2\cdot 2 = -5 \quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac{5}{3}.

Passo 5

Para y(t) usamos
y = \frac{x - x'}{2}.
Substituindo x(t) e x'(t):
x(t) = -\cos(3t) - \tfrac{5}{3}\sin(3t), \quad x'(t) = 3\cdot\bigl(-\tfrac{5}{3}\bigr)\cos(3t) + 3\cdot(-1)\,(-\sin(3t)) = -5\cos(3t) + 3\sin(3t).
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y(t) = \frac{-\cos(3t) - \tfrac{5}{3}\sin(3t)\;-\;\bigl[-5\cos(3t)+3\sin(3t)\bigr]}{2} = 2\cos(3t) - \tfrac{7}{3}\sin(3t).

Resposta

x(t) = -\cos(3t) \;-\; \tfrac{5}{3}\sin(3t), \qquad y(t) = 2\cos(3t) \;-\; \tfrac{7}{3}\sin(3t).

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