Resolva os limites abaixo, identificando e resolvendo as indeterminações ( \left(\frac{0}{0}\right), ( \frac{\infty}{\infty} ), etc.):
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-1}{x-1} (fatore o numerador)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-1}{x-1}.
Trata-se de um limite de função racional que, ao substituir x=1, gera indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, usaremos a fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada ao substituir x=1:
\frac{1^{3}-1}{1-1}=\frac{0}{0}.
Isso mostra que podemos eliminar o problema fatorando o numerador.

Passo 3

Aplicamos a diferença de cubos:
x^{3}-1 = (x-1)(x^{2}+x+1).
Substituindo na fração, para x\neq1, fica
\frac{x^{3}-1}{x-1} =\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x-1} =x^{2}+x+1.

Passo 4

Agora x^{2}+x+1 é um polinômio, portanto contínuo em todo ponto, e
\lim_{x\to1}(x^{2}+x+1)=1^{2}+1+1=3.

Resposta

O valor do limite é 3.

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