Calcule os limites nos exercícios 1-18.
Passo 1
O enunciado nos dá o limite
O que é pedido: calcular o valor numérico desse limite quando
tende a
.
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão tem uma raiz quadrada
. - Se substituirmos
diretamente no numerador obtemos e no denominador , então a forma é do tipo indeterminado . Isso indica que é preciso manipular a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Estratégia escolhida: usar a técnica de racionalização do numerador, isto é, multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da expressão com raiz para eliminar a raiz do numerador e simplificar a fração. Explicação da ideia: o conjugado de
é
. Multiplicando por esse conjugado usa-se a identidade
, que transforma uma diferença de raízes numa diferença de quadrados (sem raiz).
Aplicando a racionalização:
Passo 3
Continuando a simplificação usando as potências:
Para
(o que é permitido pois no cálculo do limite consideramos
próximos de
, mas não necessariamente iguais a
), podemos cancelar
no numerador e no denominador:
Passo 4
Agora que a expressão está simplificada, avaliamos o limite:
A função
é contínua perto de
, portanto
Assim
Passo 5
Breve comentário didático extra (útil para a prova): esse limite também pode ser visto como a derivada em
da função
combinada com a cadeia linear interna. Mais precisamente, se escrever
, então
, e
. Isso confirma o resultado obtido pela racionalização.