Calcule os limites nos exercícios 1-18.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3 h+1}-1}{h}\

Passo 1

O enunciado nos dá o limite
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{3h+1}-1}{h}.
O que é pedido: calcular o valor numérico desse limite quando h tende a 0.
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão tem uma raiz quadrada \sqrt{3h+1}.
  • Se substituirmos h=0 diretamente no numerador obtemos \sqrt{1}-1=0 e no denominador 0, então a forma é do tipo indeterminado \tfrac{0}{0}. Isso indica que é preciso manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar a técnica de racionalização do numerador, isto é, multiplicar numerador e denominador pelo conjugado da expressão com raiz para eliminar a raiz do numerador e simplificar a fração. Explicação da ideia: o conjugado de \sqrt{3h+1}-1 é \sqrt{3h+1}+1. Multiplicando por esse conjugado usa-se a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2, que transforma uma diferença de raízes numa diferença de quadrados (sem raiz).
Aplicando a racionalização:
\frac{\sqrt{3h+1}-1}{h}\cdot\frac{\sqrt{3h+1}+1}{\sqrt{3h+1}+1} = \frac{(\sqrt{3h+1})^2-1^2}{h(\sqrt{3h+1}+1)}.

Passo 3

Continuando a simplificação usando as potências:
\frac{(\sqrt{3h+1})^2-1^2}{h(\sqrt{3h+1}+1)} = \frac{3h+1-1}{h(\sqrt{3h+1}+1)} = \frac{3h}{h(\sqrt{3h+1}+1)}.
Para h\neq 0 (o que é permitido pois no cálculo do limite consideramos h próximos de 0, mas não necessariamente iguais a 0), podemos cancelar h no numerador e no denominador:
\frac{3h}{h(\sqrt{3h+1}+1)}=\frac{3}{\sqrt{3h+1}+1}.

Passo 4

Agora que a expressão está simplificada, avaliamos o limite:
\lim_{h\to 0}\frac{3}{\sqrt{3h+1}+1}.
A função h\mapsto\sqrt{3h+1} é contínua perto de h=0, portanto
\lim_{h\to 0}\sqrt{3h+1}=\sqrt{\lim_{h\to 0}(3h+1)}=\sqrt{1}=1.
Assim
\lim_{h\to 0}\frac{3}{\sqrt{3h+1}+1}=\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}.

Passo 5

Breve comentário didático extra (útil para a prova): esse limite também pode ser visto como a derivada em x=1 da função f(x)=\sqrt{x} combinada com a cadeia linear interna. Mais precisamente, se escrever g(h)=\sqrt{1+3h}, então g'(0)=\tfrac{3}{2}, e \lim_{h\to0}\tfrac{g(h)-g(0)}{h}=g'(0)=\tfrac{3}{2}. Isso confirma o resultado obtido pela racionalização.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{2}

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