Calcule os limites nos exercicios 19-36.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{4-x}{5-\sqrt{x^{2}+9}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x \to 1 da expressão
\frac{4-x}{5-\sqrt{x^{2}+9}}.
Informações dadas (explicitamente): a função é a razão entre a expressão linear 4-x e a expressão 5-\sqrt{x^{2}+9} que envolve uma raiz quadrada. O objetivo é encontrar o valor do limite.

Passo 2

Primeiro passo lógico: verificar se dá para aplicar substituição direta. Para isso recorde o seguinte fato (explicando devagar):
  • Polinômios e raízes quadradas de funções polinomiais são contínuos em seus domínios.
  • Se o numerador e o denominador são contínuos em x=1 e o denominador no ponto não é zero, então o limite quando x\to1 é simplesmente o valor da função em x=1 (substituição direta).
Aqui a função dentro da raiz é x^{2}+9. Essa função é definida e contínua para todo x, então \sqrt{x^{2}+9} é contínua para todo x. Logo tanto numerador quanto denominador são contínuos em x=1. Só precisamos checar que o denominador em x=1 não é zero.

Passo 3

Calcular numerador e denominador em x=1 por substituição direta:
4-1=3
5-\sqrt{1^{2}+9}=5-\sqrt{10}.
Como 5-\sqrt{10}\neq 0 (porque \sqrt{10}\approx3{,}16 e 5-\sqrt{10}\approx1{,}84), a substituição direta vale e o limite é
\lim_{x\to1}\frac{4-x}{5-\sqrt{x^{2}+9}}=\frac{3}{5-\sqrt{10}}.

Passo 4

Opcional: escrever o resultado sem radical no denominador (racionalizar) — técnica útil em provas para deixar resposta mais “bonita”. Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador 5+\sqrt{10}:
\frac{3}{5-\sqrt{10}}\cdot\frac{5+\sqrt{10}}{5+\sqrt{10}} =\frac{3(5+\sqrt{10})}{(5)^{2}-(\sqrt{10})^{2}}.
Calcular o denominador:
25-10=15.
Portanto
\frac{3(5+\sqrt{10})}{15}=\frac{5+\sqrt{10}}{5}.

Passo 5

Interpretação final e verificação numérica rápida: \dfrac{3}{5-\sqrt{10}} e \dfrac{5+\sqrt{10}}{5} são iguais; numericamente dão aproximadamente 1{,}632, consistente com os cálculos anteriores. Isso confirma que o limite existe e é esse valor.

Resposta

\dfrac{5+\sqrt{10}}{5}

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