Calcule os limites nos exercicios 19-36.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
da expressão
Informações dadas (explicitamente): a função é a razão entre a expressão linear
e a expressão
que envolve uma raiz quadrada. O objetivo é encontrar o valor do limite.
Passo 2
Primeiro passo lógico: verificar se dá para aplicar substituição direta. Para isso recorde o seguinte fato (explicando devagar):
- Polinômios e raízes quadradas de funções polinomiais são contínuos em seus domínios.
- Se o numerador e o denominador são contínuos em
e o denominador no ponto não é zero, então o limite quando é simplesmente o valor da função em (substituição direta).
Aqui a função dentro da raiz é
. Essa função é definida e contínua para todo
, então
é contínua para todo
. Logo tanto numerador quanto denominador são contínuos em
. Só precisamos checar que o denominador em
não é zero.
Passo 3
Calcular numerador e denominador em
por substituição direta:
Como
(porque
e
), a substituição direta vale e o limite é
Passo 4
Opcional: escrever o resultado sem radical no denominador (racionalizar) — técnica útil em provas para deixar resposta mais “bonita”. Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador
:
Calcular o denominador:
Portanto
Passo 5
Interpretação final e verificação numérica rápida:
e
são iguais; numericamente dão aproximadamente
, consistente com os cálculos anteriores. Isso confirma que o limite existe e é esse valor.