Calcule os limites, se existirem.
lim substackx 0 y 0 2 x^4 y^3(x^2+y^2)^3

Passo 1

O enunciado nos pede o limite de uma função de duas variáveis em (x,y)to(0,0):
limxto0,;yto02x^4y^3(x^2+y^2)^3
O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis. Para resolver, vamos usar coordenadas polares e, na sequência, um argumento de confronto (teorema do aperto).

Passo 2

Fazendo a mudança para coordenadas polares, definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
onde r>=0 e thetainR. Então
x^2+y^2 = r^2 e 2x^4y^3 = 2l(rcosthetar)^4l(rsinthetar)^3 =2,r^7cos^4theta,sin^3theta

Passo 3

Substituindo na fração, obtemos
2x^4y^3(x^2+y^2)^3 = 2,r^7cos^4theta,sin^3theta(r^2)^3 =2,r,cos^4theta,sin^3theta
Note que, para todo theta, l|cos^4theta,sin^3thetar|<=1. Logo
|2,r,cos^4theta,sin^3theta|<=2r
Como 2rto0 quando rto0, pelo teorema do aperto concluímos que
2,r,cos^4theta,sin^3theta ;longrightarrow;0 (rto0)

Passo 4

A expressão em coordenadas polares tende a 0 de forma independente de theta. Isso garante que o limite original existe e vale 0.

Resposta

0

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