Determine a equação do plano tangente à superfície
S: x^2 y-x z^3+y^4 z^2=3
, no ponto P(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado dá a superfície implícita
F(x,y,z)=x^2y - xz^3 + y^4z^2 - 3 = 0
e pede o plano tangente em P(1,1,-1). Sabendo que, para uma superfície F(x,y,z)=0, o plano tangente em P é dado por
nabla F(P)cdotl((x,y,z)-Pr)=0,
vamos calcular nabla F.

Passo 2

As derivadas parciais de F são
partial Fpartial x=2xy - z^3,
partial Fpartial y=x^2 + 4y^3z^2 e
partial Fpartial z=-3xz^2 + 2y^4z.

Passo 3

Avaliamo-las em P(1,1,-1):
partial Fpartial x(1,1,-1)=2cdot1cdot1 - (-1)^3=2-(-1)=3,
partial Fpartial y(1,1,-1)=1^2 + 4cdot1^3cdot(-1)^2=1+4=5,
partial Fpartial z(1,1,-1)=-3cdot1cdot(-1)^2 + 2cdot1^4cdot(-1)=-3 -2=-5
Logo nabla F(1,1,-1)=(3,5,-5).

Passo 4

O plano tangente fica
3(x-1) + 5(y-1) -5l(z - (-1)r)=0,
isto é
3x -3 +5y -5 -5z -5 = 0
ou
3x +5y -5z -13 = 0

Resposta

A equação do plano tangente é
3x + 5y - 5z - 13 = 0

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